Condivisione di Matrici (con Immagini)

Contenuto

Passi
Consigli
Avvertenze

Se sai come moltiplicare due matrici tra loro, allora sei sulla buona strada per poter "dividere" una matrice per un`altra matrice. La divisione è tra virgolette perché le matrici non possono essere tecnicamente divise. Invece, moltiplichiamo una matrice per il inverso da un`altra matrice. Questi calcoli sono spesso usati per risolvere sistemi di equazioni lineari.

Passi

Parte 1 di 3: Comprendi che la "condivisione" è impossibile

Immagine titolata Divide Matrices Step 1

1. Comprendi cosa significa "condividere" una matrice. Tecnicamente non esiste una cosa come la divisione di matrici. La divisione delle matrici non è una funzione definita. La cosa più vicina ad esso è moltiplicare per l`inverso di un`altra matrice. In altre parole, sebbene [A] ÷ [B] non sia definito, puoi risolvere il problema [A] * [B]. Poiché queste due equazioni sono equivalenti a scalari, questo "sembra" una divisione di matrici, ma è importante utilizzare la terminologia corretta.

Si noti che [A] * [B] e [B] * [A] non sono lo stesso problema. Potrebbe essere necessario risolverli entrambi per trovare tutte le risposte possibili.
Ad esempio, invece di $(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) \div (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}div {begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}$ , scrivere $(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) *^{(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) - 1}$ ${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}$ .
forse dovresti farlo anche tu $(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) - 1 * (\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}^{{-1}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}$ calcolare, che potrebbe fornire solo una risposta diversa.

Immagine titolata Divide Matrices Step 2

2. Controlla che il quadrato `divisor-matrix` sia. Per poter determinare l`inversa di una matrice, deve essere una matrice quadrata, quindi con lo stesso numero di righe e colonne. Se la matrice di cui vuoi trovare l`inversa non è una matrice quadrata, allora non esiste una soluzione univoca al problema.

Il termine "matrice divisore" è un po` vago, perché non si tratta realmente di un problema di divisione. Per [A] * [B], si riferisce alla matrice [B]. Nel nostro esempio questo è

(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}$ .

Una matrice con un inverso è chiamata `invertibile` o `non singolare.` Matrici senza inversa sono `singolari.`

Immagine titolata Divide Matrices Step 3

3. Controlla se le due matrici possono essere moltiplicate insieme. Per moltiplicare due matrici insieme, il numero di colonne nella prima matrice deve essere uguale al numero di righe nella seconda matrice. Se questo non funziona in entrambi i casi ([A] * [B] o [B] * [A]), non c`è soluzione al problema.

Ad esempio, se [A] è una matrice 4 x 3 (4 righe, 3 colonne) e [B] è una matrice 2 x 2 (2 righe, 2 colonne), non c`è soluzione. [A] * [B] non funziona perché 3 ≠ 2 e [B] * [A] non funziona perché 2 ≠ 4.

Sappi che l`inversa [B] ha sempre lo stesso numero di righe e colonne della matrice originale [B]. Non è necessario calcolare l`inverso per completare questo passaggio.

Nel nostro problema di esempio, entrambe le matrici sono 2 x 2, quindi possono essere moltiplicate in qualsiasi ordine.

Immagine titolata Divide Matrices Step 4

4. Determina il determinante di una matrice 2 x 2. C`è un altro controllo necessario prima di poter determinare l`inversa di una matrice. Il determinante della matrice non può essere zero. Se il determinante è zero, la matrice non ha inversa. Ecco come determinare il determinante nel caso più semplice (la matrice 2 x 2):

Matrice 2×2: il determinante della matrice

(\begin{matrix} un & B \\ C & D \end{matrix})

${begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}$ è ad - bc. In altre parole, prendi il prodotto della diagonale principale (in alto a sinistra in basso a destra), quindi sottrai il prodotto dell`antidiagonale (in alto a destra in basso a sinistra) da lì.

Ad esempio, la matrice

(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}$ ha il determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Questo non è zero, quindi è possibile determinare l`inverso.

Immagine titolata Divide Matrices Step 5

5. Determina il determinante di una matrice più grande. Se la tua matrice è 3 x 3 o più grande, è necessario altro lavoro per determinare il determinante:

Matrice 3x3: Scegli un elemento e incrocia la riga e la colonna a cui appartiene. Determina il determinante della restante matrice 2 x 2, moltiplica per l`elemento scelto e conserva una tabella dei segni della matrice per determinare il segno. Ripeti per gli altri due elementi nella stessa riga e colonna del primo che hai scelto, quindi aggiungi tutti e tre i determinanti insieme. Leggi questo articolo per istruzioni dettagliate e suggerimenti per farlo più velocemente.

Matrici più grandi: Si consiglia l`uso di una calcolatrice grafica o di un software. Il metodo è simile a quello di una matrice 3 x 3, ma richiede molto tempo se lo fai a mano. Ad esempio, per trovare il determinante di una matrice 4 x 4, devi prima trovare i determinanti di quattro matrici 3 x 3.

Immagine titolata Divide Matrices Step 6

6. Continua. Se la tua matrice non è un quadrato, o se il suo determinante è zero, scrivilo come "nessuna soluzione univoca". Il problema è risolto. Se la matrice è un quadrato e il suo determinante non è zero, passa alla parte successiva per il passaggio successivo: trovare l`inversa.

Parte 2 di 3: Inversione della matrice

Immagine titolata Divide Matrices Step 7

1. Scambia le posizioni degli elementi della diagonale principale 2 x 2. Se hai a che fare con una matrice 2 x 2, puoi usare una scorciatoia per rendere questo calcolo molto più semplice. Il primo passaggio di questa rapida soluzione prevede lo scambio dell`elemento in alto a sinistra con l`elemento in basso a destra. Ad esempio:

$(\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}$ → $(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}$
Nota: La maggior parte delle persone usa una calcolatrice per determinare l`inversa di una matrice 3 x 3 (o più grande). Se vuoi ancora calcolarlo a mano, guarda alla fine di questa parte.

Immagine titolata Divide Matrices Step 8

2. Prendi l`opposto degli altri due elementi ma lasciali in quella posizione. In altre parole, moltiplica il massimo giudice e fondo sinistra-elementi con-1:

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 2 & 7 \end{matrix})

${begin{pmatrix}3&4\2&7end{pmatrix}}$ →

(\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 2 & 7 \end{matrix})

${begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}$

Immagine titolata Divide Matrices Step 9

3. Prendi il reciproco del determinante. Hai trovato il determinante di questa matrice nella sezione precedente, quindi non è necessario calcolarlo di nuovo. Basta scrivere il reciproco di 1/(determinante):

Nel nostro esempio, il determinante è 13. Il reciproco di questo è

\frac{1}{13}

${frac{1}{13}}$ .

Immagine titolata Divide Matrices Step 10

4. Moltiplica la nuova matrice per il reciproco del determinante. Moltiplica ogni elemento della nuova matrice per il reciproco che hai appena trovato. La matrice risultante è l`inverso della matrice 2 x 2:

\frac{1}{13} * (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 2 & 7 \end{matrix})

${frac{1}{13}}*{begin{pmatrix}3&-4\-2&7end{pmatrix}}$
=

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrice}}$

Immagine titolata Divide Matrices Step 11

5. Conferma che l`inverso è corretto. Per controllare il tuo lavoro, moltiplica l`inverso per la matrice originale. Se l`inverso è corretto, il loro prodotto è sempre l`identità della matrice,

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

${begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}}$ Se è matematicamente corretto, passare alla sezione successiva per completare l`elaborazione del problema.

Ai fini del problema di esempio, moltiplichiamo

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) * (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\2&3end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix }}$ .

Vedi wikihow per maggiori informazioni sulla moltiplicazione delle matrici.

Nota: la moltiplicazione di matrici non è commutativa: l`ordine dei fattori è importante. Quando si moltiplica una matrice per la sua inversa, entrambi risulteranno nella matrice identità.

Immagine titolata Divide Matrices Step 12

6.Determina l`inversione della matrice di una matrice 3 x 3 o più grande. A meno che tu non sia nuovo in questo processo, puoi risparmiare molto tempo utilizzando una calcolatrice grafica o un software matematico su matrici più grandi. Se hai bisogno di calcolarlo a mano, ecco un breve riassunto di un metodo che puoi utilizzare:

Aggiungi la matrice di identità I sul lato destro della tua matrice. Ad esempio, [B] → [B | IO ]. La matrice identità ha elementi "1" lungo la diagonale principale e elementi "0" in tutte le altre posizioni.

Esegui operazioni di riga per ridurre la matrice fino a quando il lato sinistro è in forma di scaglioni di riga, quindi continua a ridurre fino a quando il lato sinistro non è la matrice dell`identità.

Quando l`intera operazione è completa, la tua matrice è nella forma [I | B]. In altre parole, il lato destro diventa l`inverso della matrice originale.

Parte 3 di 3: Moltiplica le matrici per completare il problema

Immagine titolata Divide Matrices Step 13

1. Annota entrambe le possibili equazioni. Nella "matematica ordinaria" con scalari, la moltiplicazione è commutativa; 2 x 6 = 6 x 2. Questo non si applica alle matrici, quindi potresti dover risolvere due problemi:

[A] * [B] è la soluzione X per problema X[B] = [A].
[B] * [A] è la soluzione X per il problema [B]X = [A].
Se fa parte di un`equazione, assicurati di applicare la stessa operazione a entrambi i lati dell`equazione. Se [A] = [C], allora [B][A] è non uguale a [C][B], perché [B] è a sinistra di [A], ma a destra di [C].

Immagine titolata Divide Matrices Step 14

2. Determina le dimensioni della tua risposta. Le dimensioni della matrice finale sono le dimensioni esterne dei due fattori. Ha lo stesso numero di righe della prima matrice e lo stesso numero di colonne della seconda matrice.

Tornando all`esempio originale: entrambi

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix})

${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}$ e

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrice}}$ sono 2 x 2 matrici, quindi anche le dimensioni della risposta sono 2 x 2.

Per fare un esempio leggermente più complicato: se [A] è a 4 x è una matrice 3 e [B] è una 3 x 3 matrice, allora la matrice [A] * [B] ha dimensioni 4 x 3.

Immagine titolata Divide Matrices Step 15

3. Determina il valore del primo elemento. Consulta l`articolo collegato per istruzioni dettagliate o aggiorna le tue conoscenze con questo riepilogo:

Per trovare la riga 1, colonna 1 di [A][B], trova il prodotto scalare di [A] riga 1 e [B] colonna 1. Quindi, per una matrice 2 x 2, calcoli

un 1, 1 * B_{1, 1} + {un}_{1, 2} * B_{2, 1}

$a_{{1,1}}*b_{{1,1}}+a_{{1,2}}*b_{{2,1}}$ .

Nel nostro esempio

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) * (\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13})

${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}$ , è la riga 1 colonna 1 della tua risposta:

(13 * \frac{3}{13}) + (26 * - 2 13)

$(13*{frac{3}{13}})+(26*{frac{-2}{13}})$

= 3 + - 4

$=3+-4$

= - 1

$=-1$

Immagine titolata Divide Matrices Step 16

4. Calcola il prodotto scalare per ogni posizione nella tua matrice. Ad esempio, l`elemento in posizione 2.1 è il prodotto scalare di [A] riga 2 e [B] colonna 1. Prova a elaborare tu stesso l`esempio. Dovresti ottenere le seguenti risposte:

(\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) * (\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) = (\begin{matrix} - 1 & 10 \\ 7 & - 5 \end{matrix})

${begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}} \{frac{-2}{13}}&{frac{7}{13}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-1&10\7&-5end {pmatrice}}$

E l`altra soluzione:

(\begin{matrix}  \end{matrix} \frac{3}{13} - 4 13 - 2 13 & \frac{7}{13}) * (\begin{matrix} 13 & 26 \\ 39 & 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 9 & 2 \\ 19 & 3 \end{matrix})

${begin{pmatrix}{frac{3}{13}}&{frac{-4}{13}}\{frac{-2}{13}}&{frac{7} {13}}end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\39&13end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\19&3end{ pmmatrice}}$

Consigli

Puoi dividere una matrice per uno scalare, dividendo ogni elemento della matrice per lo scalare.

Ad esempio, la matrice $(\begin{matrix} 6 & 8 \\ 2 & 4 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}6&8\2&4end{pmatrix}}$ diviso per 2 = $(\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ ${begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}}$

Avvertenze

Le calcolatrici non sono sempre accurate al 100% nella matematica delle matrici. Ad esempio, se la calcolatrice indica che un elemento ha un valore molto piccolo (ad es. 2E), allora il valore è probabilmente zero.