Condivisione dei Logaritmi: 11 Passaggi (con Immagini)

Contenuto

Passi
- Metodo 1 di 2: Dividere i logaritmi a mano
- Metodo 2 di 2: Lavorare con il logaritmo di un quoziente

I logaritmi possono sembrare difficili da usare, ma proprio come gli esponenti o i polinomi devi solo imparare le tecniche giuste. Hai solo bisogno di conoscere alcune proprietà di base per dividere due logaritmi con la stessa base o per estendere un logaritmo di un quoziente.

Passi

Metodo 1 di 2: Dividere i logaritmi a mano

Immagine titolata Divide Logarithms Step 1

1. Verifica la presenza di numeri e uno negativi. Questo metodo risolve i problemi nella forma

tronco d`albero B (X) tronco d`albero B (un)

${displaystyle {frac {log _{b}(x)}{log _{b}(a)}}}$ . Tuttavia, non funziona per alcuni casi speciali:

Il logaritmo di un numero negativo non è definito per tutte le basi (come $tronco d`albero (- 3)$ ${ displaystyle log(-3)}$ o $tronco d`albero 4 (- 5)$ ${displaystyle log _{4}(-5)}$ ). Quindi scrivi "Nessuna soluzione".
Anche il logaritmo di zero è indefinito per tutte le basi. Se vedi un termine come $\ln (0)$ ${ displaystyle ln (0)}$ , quindi scrivi anche "Nessuna soluzione".
Il logaritmo di uno in qualsiasi base ( $tronco d`albero (1)$ ${ displaystyle log(1)}$ ) è sempre uguale a zero, poiché $X 0 = 1$ ${displaystyle x^{0}=1}$ per tutti i valori di X. Sostituisci quel logaritmo con 1 invece di usare il metodo seguente.
Se i due logaritmi hanno basi diverse, ad esempio $l o G 3 (X) l o G 4 (un)$ ${displaystyle {frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}}$ , e non puoi semplificare nessuno dei due a un numero intero, quindi il problema non può essere risolto a mano.

Immagine titolata Divide Logarithms Step 2

2. Modifica l`espressione in un logaritmo. Supponendo che tu non abbia trovato nessuna delle eccezioni di cui sopra, ora puoi semplificare il problema in un logaritmo. Per fare ciò, usa la formula

tronco d`albero B (X) tronco d`albero B (un) = {tronco d`albero}_{un} (X)

${displaystyle {frac {log _{b}(x)}{log _{b}(a)}}=log _{a}(x)}$ .

Esempio 1: Risolvi:

tronco d`albero 16 tronco d`albero 2

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}}$ .
Inizia convertendo questo in un logaritmo usando la formula sopra:

tronco d`albero 16 tronco d`albero 2 = {tronco d`albero}_{2} (16)

${displaystyle {frac {log {16}}{log {2}}}=log _{2}(16)}$ .

Questa formula è la formula del "cambio di base", derivata dalle proprietà logaritmiche di base.

Immagine titolata Divide Logarithms Step 3

3. Calcolalo a mano, se possibile. Ricorda: oh

tronco d`albero un (X)

${displaystyle log _{a}(x)}$ per risolvere, pensi a `

un ? = X

${displaystyle a^{?}=x}$ ` o `Quale esponente posso usare un elevare a X ottenere?` Non è sempre possibile risolverlo senza una calcolatrice, ma se sei fortunato ti ritroverai con un logaritmo facilmente semplificato.

Esempio 1 (segue.): Riscrivi

tronco d`albero 2 (16)

${displaystyle log _{2}(16)}$ Se

2 ? = 16

${displaystyle 2^{?}=16}$ . Il valore di `?` è la risposta al problema. Potrebbe essere necessario provarne alcuni per trovarlo:

22 = 2 * 2 = 4

${displaystyle 2^{2}=2*2=4}$

23 = 4 * 2 = 8

${displaystyle 2^{3}=4*2=8}$

24 = 8 * 2 = 16

${displaystyle 2^{4}=8*2=16}$
16 è quello che stavi cercando, quindi

tronco d`albero 2 (16)

${displaystyle log _{2}(16)}$ = 4.

Immagine titolata Divide Logarithms Step 4

4. Lascia la risposta in forma logaritmica se non puoi semplificarla. Alcuni logaritmi sono molto difficili da risolvere a mano. Hai bisogno di una calcolatrice se hai bisogno della risposta per uno scopo pratico. Quando risolvi problemi in classe di matematica, il tuo insegnante probabilmente si aspetta che lasci la risposta come logaritmo. Ecco un altro esempio che utilizza questo metodo per un problema più complicato:

Esempio 2: Cos`è

tronco d`albero 3 (58) tronco d`albero 3 (7)

${displaystyle {frac {log _{3}(58)}{log _{3}(7)}}}$ ?

Convertilo in un logaritmo::

tronco d`albero 3 (58) tronco d`albero 3 (7) = {tronco d`albero}_{7} (58)

${displaystyle {frac {log _{3}(58)}{log _{3}(7)}}=log _{7}(58)}$ .(Si noti che il ₃ scompare in qualsiasi registro iniziale -- questo si applica a qualsiasi base).

Riscrivi come

7 ? = 58

${displaystyle 7^{?}=58}$ e testare possibili valori di ?:

72 = 7 * 7 = 49

${displaystyle 7^{2}=7*7=49}$

73 = 49 * 7 = 343

${displaystyle 7^{3}=49*7=343}$
Dal momento che 58 rientra tra questi due numeri,

tronco d`albero 7 (58)

${displaystyle log _{7}(58)}$ nessun numero intero come risposta.

Lascia la tua risposta come:

tronco d`albero 7 (58)

${displaystyle log _{7}(58)}$ .

Metodo 2 di 2: Lavorare con il logaritmo di un quoziente

Immagine titolata Divide Logarithms Step 5

1. Inizia con un problema di divisione in un logaritmo. Questa sezione aiuta a risolvere i problemi con le espressioni nel modulo

tronco d`albero un (\frac{X}{y})

${displaystyle log _{a}({frac {x}{y}})}$ .

Ad esempio, inizia con questo problema:
`Risolvi per n se $tronco d`albero 3 (27 6 n) = - 6 - {tronco d`albero}_{3} (6)$ ${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=-6-log _{3}(6)}$ .`

Immagine titolata Divide Logarithms Step 6

2. Controlla i numeri negativi. Il logaritmo di un numero negativo non è definito. Se x o y sono un numero negativo, verificare se il problema ha una soluzione prima di continuare:

Se o x o y è negativo, non c`è soluzione al problema.

Se entrambi x se y sono negativi, rimuovi i segni negativi utilizzando la proprietà

- X - y = \frac{X}{y}

${displaystyle {frac {-x}{-y}}={frac {x}{y}}}$

Non ci sono logaritmi di numeri negativi nel problema di esempio, quindi puoi procedere al passaggio successivo.

Immagine titolata Divide Logarithms Step 7

3. Dividere il quoziente in due logaritmi. Una proprietà utile dei logaritmi è descritta dalla formula:

tronco d`albero un (\frac{X}{y}) = {tronco d`albero}_{un} (X) - {tronco d`albero}_{un} (y)

${displaystyle log _{a}({frac {x}{y}})=log _{a}(x)-log _{a}(y)}$ . In altre parole, il logaritmo di un quoziente è sempre uguale al logaritmo del numeratore, meno il logaritmo del denominatore.

Utilizzare questo per espandere il lato sinistro del problema di esempio:

tronco d`albero 3 (27 6 n) = {tronco d`albero}_{3} (27) - {tronco d`albero}_{3} (6 n)

${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=log _{3}(27)-log _{3}(6n)}$

Sostituisci questo nell`equazione originale:

tronco d`albero 3 (27 6 n) = - 6 - {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle log _{3}({frac {27}{6n}})=-6-log _{3}(6)}$
→

tronco d`albero 3 (27) - {tronco d`albero}_{3} (6 n) = - 6 - {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(27)-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

Immagine titolata Divide Logarithms Step 8

4. Se possibile, semplifica i logaritmi. Se uno qualsiasi dei nuovi logaritmi nell`espressione è un intero, semplificalo ora.

Il problema di esempio ha un nuovo termine:

tronco d`albero 3 (27)

${displaystyle log _{3}(27)}$ . Poiché 3 = 27, semplifica

tronco d`albero 3 (27)

${displaystyle log _{3}(27)}$ cattiva 3.

Il confronto completo è ora:

3 - tronco d`albero 3 (6 n) = - 6 - {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle 3-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

Immagine titolata Divide Logarithms Step 9

5. Isola la variabile. Come ogni problema di matematica, aiuta a isolare il termine con la variabile su un lato dell`equazione. Elimina termini simili ove possibile per semplificare l`equazione.

3 - tronco d`albero 3 (6 n) = - 6 - {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle 3-log _{3}(6n)=-6-log _{3}(6)}$

9 - tronco d`albero 3 (6 n) = - {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle 9-log _{3}(6n)=-log _{3}(6)}$

tronco d`albero 3 (6 n) = 9 + {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6n)=9+log _{3}(6)}$ .

Immagine titolata Divide Logarithms Step 10

6. Usa proprietà aggiuntive dei logaritmi quando necessario. Per isolare la variabile da altri termini all`interno dello stesso logaritmo, riscrivi il termine utilizzando diverse proprietà logaritmiche.

Nel problema di esempio, il n ancora preso nel termine

tronco d`albero 3 (6 n)

${displaystyle log _{3}(6n)}$ .
Attorno a n per isolare, utilizzare la regola del prodotto dei logaritmi:

tronco d`albero un (B C) = {tronco d`albero}_{un} (B) + tronco d`albero un (C)

${displaystyle log _{a}(bc)=log _{a}(b)+log {a}(c)}$

tronco d`albero 3 (6 n) = {tronco d`albero}_{3} (6) + {tronco d`albero}_{3} (n)

${displaystyle log _{3}(6n)=log _{3}(6)+log _{3}(n)}$

Sostituiscilo nell`equazione completa:

tronco d`albero 3 (6 n) = 9 + {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6n)=9+log _{3}(6)}$

tronco d`albero 3 (6) + {tronco d`albero}_{3} (n) = 9 + {tronco d`albero}_{3} (6)

${displaystyle log _{3}(6)+log _{3}(n)=9+log _{3}(6)}$

Immagine titolata Divide Logarithms Step 11

7. Continua a semplificare finché non trovi la soluzione. Ripetere le stesse tecniche algebriche e logaritmiche per risolvere il problema. Se non esiste una soluzione intera, utilizzare una calcolatrice e arrotondare al numero significativo più vicino.