Come Calcolare l'Area di un Triangolo Isoscele (con Immagini)

Contenuto

Passi
- Metodo 1 di 2: Determinazione dell`area utilizzando le lunghezze di ciascun lato
- Metodo 2 di 2: utilizzo della trigonometria
Consigli

Un triangolo isoscele è un triangolo con due lati della stessa lunghezza. Questi due lati uguali hanno sempre lo stesso angolo rispetto alla base (il terzo lato) e si incontrano direttamente sopra il centro della base. Puoi provarlo tu stesso con un righello e due matite della stessa lunghezza: se provi a inclinare il triangolo in una direzione, le estremità delle matite non si incontreranno. Con queste proprietà speciali del triangolo isoscele, l`area può essere calcolata con pochi dati.

Passi

Metodo 1 di 2: Determinazione dell`area utilizzando le lunghezze di ciascun lato

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Passaggio 1

1. Prendi l`area di un parallelogramma. Quadrati e rettangoli sono parallelogrammi, come qualsiasi forma a quattro lati in cui due coppie di lati sono parallele tra loro. Tutti i parallelogrammi hanno una semplice formula dell`area: l`area è uguale alla base moltiplicata per l`altezza, o A = bh. Se metti un parallelogramma immaginario in posizione verticale su una superficie orizzontale, la base è la lunghezza del lato su cui si trova la figura. L`altezza è la distanza dalla base al punto più alto (come ci si aspetterebbe); cioè la distanza dalla base al lato opposto. Misurare sempre l`altezza ad angolo retto (90 gradi) rispetto alla base.

Per quadrati e rettangoli, l`altezza è uguale alla lunghezza di un lato verticale, poiché questi lati sono ad angolo retto rispetto al suolo.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 2

2. Confronta Triangoli e Parallelogrammi. C`è una semplice relazione tra queste due forme. Tagliare un parallelogramma a metà lungo la diagonale lo divide in due triangoli uguali. Allo stesso modo, puoi unire due triangoli identici per formare un parallelogramma. Ciò significa che l`area di un triangolo può essere scritta come A = bh, esattamente la metà di un parallelogramma corrispondente.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 3

3. Trova la base del triangolo isoscele. Ora hai la formula, ma cosa sono esattamente la "base" e l` "altezza" di un triangolo isoscele? La base è la parte facile: prendi il terzo lato disuguale del triangolo isoscele.

Ad esempio, se un triangolo isoscele ha i lati di 5 cm, 5 cm e 6 cm, allora il lato di 6 cm è la base.

Se un triangolo ha tre lati uguali (ed è quindi equilatero), puoi scegliere qualsiasi lato come base. Un triangolo equilatero è un tipo speciale di triangolo isoscele, ma puoi trovare la sua area allo stesso modo.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 4

4. Disegna una linea tra la base e il vertice opposto. Assicurati che la linea tocchi la base ad angolo retto. La lunghezza di questa linea è l`altezza del triangolo ed è quindi etichettata h. Una volta ottenuto il valore di h calcolato, è possibile determinare l`area.

In un triangolo isoscele, questa linea tocca sempre la base nel suo centro esatto.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 5

5. Visualizza una metà del triangolo isoscele. Si noti che l`altitudine divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli identici. Guarda uno di loro e indica i tre lati:

Uno dei lati corti è uguale alla metà della base:

\frac{B}{2}

${frac{b}{2}}$ .

L`altro lato corto è l`altezza h.

L`ipotenusa (ipotenusa) del triangolo rettangolo è uno dei due lati uguali del triangolo isoscele. Prendiamo questo S menzionare.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 6

6.Usa il teorema di Pitagora. Se conosci due lati di un triangolo rettangolo e vuoi trovare il terzo, puoi usare il Teorema di Pitagora: (lato 1) + (lato 2) = (ipotenusa) Sostituisci le variabili che usiamo in questo problema e ottieni

(\frac{B}{2})^{2} + h^{2} = S^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .

Probabilmente hai imparato il teorema di Pitagora se

un 2 + B^{2} = C^{2}

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Scrivere questo come "lati" e "ipotenusa" ti evita di confonderli con le variabili del triangolo.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 7

7. Risolvere per h. Ricorda che hai la formula dell`area B e h usato, ma di cui non si conosce il valore h non lo so ancora. Riscrivi la formula h risolvere:

(\frac{B}{2})^{2} + h^{2} = S^{2}

$({frac{b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$

h 2 = S^{2} - (\frac{B}{2})^{2}

$h^{2}=s^{2}-({frac{b}{2}})^{2}$

h = \sqrt{(} S^{2} - (\frac{B}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$ .

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 8

8. Sostituisci i valori del tuo triangolo con h Ora che conosci questa formula, puoi usarla per un triangolo isoscele di cui conosci i lati. Basta inserire la lunghezza della base per B e la lunghezza di uno dei lati uguali per S, e poi calcola h.

Ad esempio, hai un triangolo isoscele con i lati 5 cm, 5 cm e 6 cm. B = 6 e S = 5.

Usa questi valori nella tua formula:

h = \sqrt{(} S^{2} - (\frac{B}{2})^{2})

$h={sqrt(}s^{2}-({frac{b}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 5^{2} - (\frac{6}{2})^{2})

$h={sqrt(}5^{2}-({frac{6}{2}})^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 3^{2})

$h={sqrt(}25-3^{2})$

h = \sqrt{(} 25 - 9)

$h={sqrt(}25-9)$

h = \sqrt{(} 16)

$h={sqrt(}16)$

h = 4

$h=4$ centimetro.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 9

9. Usa i valori di base e altezza nella formula dell`area. Ora hai quello che ti serve per usare la formula dall`inizio di questa sezione: Area = ½bh. Sostituisci i valori per b e h in questa formula e calcola la risposta. Non dimenticare di scrivere la tua risposta in unità quadrate.

Per continuare con l`esempio: il triangolo 5-5-6 ha una base di 6 cm e un`altezza di 4 cm.

A = bh
A = ½(6 cm)(4 cm)
A = 12 cm.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 10

10. Prova un esempio più difficile. La maggior parte dei triangoli isoscele sono più difficili da lavorare rispetto all`esempio precedente. L`altezza contiene spesso una radice quadrata che non può essere semplificata a un numero intero. Se questo è il caso, lasciare l`altezza come radice quadrata nel la forma più semplice Stare in piedi. Ecco un esempio:

Qual è l`area di un triangolo con i lati 8 cm, 8 cm e 4 cm?

Il lato irregolare è di 4 cm e la base B.

L`altezza

h = \sqrt{8} 2 - (\frac{4}{2})^{2}

$h={sqrt{8^{2}-({frac{4}{2}})^{2}}}$

= \sqrt{64 - 4}

$={sqrt{64-4}}$

= \sqrt{60}

$={sqrt{60}}$

Semplifica la radice quadrata calcolando:

h = \sqrt{60} = \sqrt{4 * 15} = \sqrt{4} \sqrt{15} = 2 \sqrt{15} .

$h={sqrt{60}}={sqrt{4*15}}={sqrt{4}}{sqrt{15}}=2{sqrt{15}}$

Superficie

= \frac{1}{2} B h

$={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (4) (2 \sqrt{15})

$={frac{1}{2}}(4)(2{sqrt{15}})$

= 4 \sqrt{15}

$=4{sqrt{15}}$

Lascia questa risposta come annotata o usa una calcolatrice per una stima decimale (circa 15,49 cm2).

Metodo 2 di 2: utilizzo della trigonometria

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 11

1. Inizia con un lato e un angolo. Se hai familiarità con la trigonometria, puoi trovare l`area di un triangolo isoscele anche se nessuna delle lunghezze dei suoi lati è nota. Ecco un problema di esempio in cui è noto solo quanto segue:

La lunghezza S dei due lati uguali è 10 cm.
L`angolo θ tra i due lati uguali è di 120 gradi.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 12

2. Dividi il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli. Traccia una linea dal vertice tra i due lati uguali, intersecando la base ad angolo retto. Ora hai due triangoli rettangoli uguali.

Questa linea divide θ perfettamente a metà. Ogni triangolo rettangolo ha un angolo di ½θ, o in questo caso (½)(120) = 60 gradi.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 13

3. Utilizzare la trigonometria per determinare il valore di h. Ora che hai un triangolo rettangolo, puoi applicare le funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente). Nel problema di esempio sai qual è l`ipotenusa e vuoi il valore di h sai, il lato vicino all`angolo noto. Usa il fatto che coseno = adiacente / ipotenusa a h risolvere:

cos(θ/2) = h / s

cos(60º) = h / 10

h = 10 cos(60º)

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 14

4. Determina il valore del lato rimanente. C`è un lato ancora sconosciuto del triangolo rettangolo, che tu X può nominare. Risolvi questo con la definizione seno = opposto / ipotenusa:

sin(θ/2) = x / s

sin(60º) = x / 10

x = 10peccato(60º)

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 15

5. Usa la relazione di x con la base del triangolo isoscele. Ora puoi "rimpicciolire" il triangolo isoscele in questione. La base B di quell`angolo è uguale a 2X, poiché era diviso in due segmenti, ciascuno con una lunghezza X.

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 16

6. Usa i valori h e B nella formula dell`area per il triangolo. Ora che conosci la base e l`altezza, puoi applicare la formula standard A = ½bh:

un = \frac{1}{2} B h

$A={frac{1}{2}}bh$

= \frac{1}{2} (2 X) (10 C o S 60)

$={frac{1}{2}}(2x)(10cos60)$

= (10 S io n 60) (10 C o S 60)

$=(10sin60)(10cos60)$

= 100 S io n (60) C o S (60)

$=100peccato(60)cos(60)$

Usando una calcolatrice (impostata in gradi), ottieni circa 43,3 cm2 come risposta. In alternativa, usa le proprietà della trigonometria per semplificarle in A = 50sin(1200).

Immagine titolata Trova l`area di un triangolo isoscele Step 17

7. Riscrivilo come una formula universale. Ora che sai come risolvere questo problema, puoi applicare la formula generale senza eseguire l`intero processo ogni volta. Ecco cosa ottieni se ripeti questo processo, senza utilizzare valori specifici (e semplificando usando le proprietà della trigonometria):

un = \frac{1}{2} S^{2} S io n θ

$A={frac{1}{2}}s^{2}peccatoteta$

s è la lunghezza di uno dei due lati uguali.

Θ è l`angolo tra i due lati uguali.

Consigli

Se hai a che fare con un triangolo rettangolo isoscele (due lati uguali e un angolo di 90 gradi), è molto più facile trovare l`area. Se usi uno dei lati corti come base, l`altro lato corto è l`altezza. Ora la formula A = ½ b * h può essere semplificata a ½s, dove s è la lunghezza di un lato corto.
Le radici quadrate hanno due soluzioni, una positiva e una negativa, ma puoi ignorare il negativo in geometria. Ad esempio, non puoi avere un triangolo con `altezza negativa`.
Alcuni problemi trigonometrici ti danno altre informazioni da cui partire, come la lunghezza della base e un angolo (e il fatto che il triangolo è isoscele). La strategia di base rimane la stessa: dividere il triangolo isoscele in triangoli rettangoli e calcolarli per altezza, usando le funzioni trigonometriche.

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