Verifica del Principio di Indeterminazione per un Oscillatore Armonico Quantistico

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Passi
Consigli

L`oscillatore armonico quantistico è l`analogia quantistica del classico oscillatore armonico semplice. Usando la soluzione dello stato fondamentale, prendiamo la posizione e i valori di impulso attesi e controlliamo il principio di indeterminazione con esso.

Passi

Parte 1 di 3: una soluzione allo stato fondamentale

1. Ricorda l`equazione di Schrödinger. Questa equazione differenziale parziale è l`equazione fondamentale del moto all`interno della meccanica quantistica, che descrive come uno stato quantistico

ψ

$psi$ evolve nel tempo.

\hat{eh}

${avrò}}$ denota l`Hamiltoniana, l`operatore energetico che descrive l`energia totale di un sistema.

$io ℏ \partial ψ \partial T = \hat{eh} ψ$ $ihbar {frac{partial psi }{partial t}}={hat{H}}psi$

2. Scrivi l`Hamiltoniana per l`oscillatore armonico. Sebbene le variabili di posizione e quantità di moto siano state sostituite dai rispettivi operatori, l`espressione ricorda ancora quella dell`energia cinetica e potenziale di un oscillatore armonico classico. Poiché stiamo lavorando nello spazio fisico, la posizione dell`operatore è data da

\hat{X} = X,

${cappello{x}}=x,$ mentre l`operatore dell`impulso è dato da

\hat{P} = - io ℏ \partial \partial X .

${hat{p}}=-ihbar {frac{partial }{partial x}}$

\hat{eh} = \hat{P} 2 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2}^{\hat{X} 2}

${hat{H}}={frac{{hat{p}}^{{2}}}{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}} {hat{x}}^{{2}}$

3. Scrivi l`equazione di Schrödinger indipendente dal tempo. Vediamo che l`Hamiltoniana non dipende esplicitamente dal tempo, quindi le soluzioni dell`equazione saranno stati immutabili. L`equazione di Schrödinger indipendente dal tempo è un`equazione dell`autovalore, quindi risolvendola significa che troviamo gli autovalori energetici e le loro corrispondenti autofunzioni -- le funzioni d`onda --.

- ℏ 2 2 m D 2 ψ D X^{2} + \frac{1}{2} m Ω^{2} X^{2} ψ = e ψ

$-{frac{hbar ^{{2}}}{2m}}{frac{{mathrm{d}}^{{2}}psi }{{mathrm{d}}x^{{ 2}}}}+{frac{1}{2}}momega ^{{2}}x^{{2}}psi =Epsi$

4. Risolvi l`equazione differenziale. Questa equazione differenziale ha coefficienti variabili e non può essere facilmente risolta con metodi semplici. Tuttavia, dopo la normalizzazione, la soluzione dello stato fondamentale può essere scritta come:. Ricorda che questa soluzione descrive solo un oscillatore unidimensionale.

ψ (X) = (m Ω π ℏ) 1 / 4 esp (- m Ω 2 ℏ X^{2})

$psi (x)=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/4}}exp left(-{frac{momega }{ 2hbar }}x^{{2}}destra)$

Questo è un gaussiano, centrato

X = 0.

$x=0$ Sfruttiamo il fatto che questa funzione serve anche a semplificare i nostri calcoli nella parte successiva.

Parte 2 di 3: Valori di aspettativa

1. Ricorda la formula dell`incertezza. L`incertezza di un valore osservabile come una posizione è matematicamente uguale alla deviazione standard. Cioè, determiniamo il valore medio, sottraiamo ogni valore dalla media, al quadrato quei valori e calcoliamo la media, quindi sottraiamo la radice quadrata del risultato.

$Σ X = \sqrt{sesso X} 2 sesso - sesso X {sesso}^{2}$ $sigma _{{x}}={sqrt{angolo x^{{2}}angolo -angolo xangolo ^{{2}}}}$

2. Determinare sessoXsesso{ displaystyle angolo x angolo} $angolo xangolo$ . Poiché la funzione è pari, possiamo dedurre dalla simmetria che

sesso X sesso = 0.

$lang xrango =0$

Se scrivi l`integrale che dovevi valutare, vedi che l`integrando è una funzione dispari, perché una funzione dispari moltiplicata per una funzione pari è dispari.

sesso X sesso = \int - \infty \infty X | ψ (X) |^{2} D X

$langle xrangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x|psi (x)|^{{2}}{mathrm{d}}x$

Una proprietà di una funzione dispari è che per ogni valore positivo della funzione esiste un doppelganger - un valore negativo associato - che annulla la funzione. Dal momento che abbiamo tutti i valori di

X

$X$ valutare, sappiamo che l`integrale diventa 0, senza dover fare i calcoli.

3. calcolare sessoX2sesso{ displaystyle angolo x ^ {2} angolo } $angolo x^{{2}}angolo$ . Poiché la nostra soluzione è scritta come una funzione d`onda continua, utilizziamo l`integrale di seguito. L`integrale descrive il valore atteso per

X 2

$x^{{2}}$ , integrato in tutto lo spazio.

sesso X 2 sesso = \int_{- \infty}^{\infty} X^{2} | ψ (X) |^{2} D X

$langle x^{{2}}rangle =int _{{-infty }}^{{infty }}x^{{2}}|psi (x)|^{{2}}{ mathrm{d}}x$

4. Sostituisci la funzione d`onda nell`integrale e semplifica. Sappiamo che la funzione d`onda è pari. Anche il quadrato di una funzione pari è pari, quindi possiamo prendere un fattore 2 fuori dalle parentesi e abbassare il limite inferiore a 0.

sesso X 2 sesso = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} esp (- m Ω ℏ X^{2}) D X

$langle x^{{2}}rangle =2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{0}} ^{{infty }}x^{{2}}exp left(-{frac{momega }{hbar }}x^{{2}}right){mathrm{d}} X$

5. Valutare. Sii il primo a farlo

α = m Ω ℏ .

$alpha ={frac{momega }{hbar }}$ Quindi non integriamo per parte, ma utilizziamo la funzione gamma.

\begin{matrix} sesso X \end{matrix} 2 sesso = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} X^{2} e^{- α} X^{2} D X, voi = α X^{2} = 2 (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{voi}{α} e^{- voi} D voi 1 2 α X, X = \sqrt{\frac{voi}{α}} = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} α^{- 3 / 2} \int_{0}^{\infty} {voi}^{1 / 2} e^{- voi} D voi = (^{m Ω π ℏ) 1 / 2} (^{m Ω ℏ) - 3 / 2} Γ (\frac{3}{2}), Γ (\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ m Ω \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{\sqrt{π}}{2} = ℏ 2 m Ω

${begin{allineato}langle x^{{2}}rangle &=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}} int _{{0}}^{{infty }}x^{{2}}e^{{-alpha x^{{2}}}}{mathrm{d}}x, u =alpha x^{{2}}\&=2left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}int _{{ 0}}^{{infty }}{frac{u}{alpha }}e^{{-u}}{mathrm{d}}u{frac{1}{2alpha x}} , x={sqrt{{frac{u}{alpha }}}}\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{ {1/2}}alpha ^{{-3/2}}int _{{0}}^{{infty }}u^{{1/2}}e^{{-u}}{ mathrm{d}}u\&=left({frac{momega }{pi hbar }}right)^{{1/2}}left({frac{m omega }{hbar }}right)^{{-3/2}}Gamma left({frac{3}{2}}right), Gamma left({frac{3 }{2}}right)={frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{momega }}{frac{1} {{sqrt{pi }}}}{frac{{sqrt{pi }}}{2}}\&={frac{hbar }{2momega }}end{allineato }}$

6. Arrivo all`incertezza in posizione. Usando la relazione che abbiamo elaborato nel passaggio 1 di questa sezione, segue

Σ X

$sigma _{{x}}$ immediatamente dai nostri risultati.

Σ X = \sqrt{ℏ} 2 m Ω

$sigma _{{x}}={sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}$

7. Determinare sessoPsesso{ displaystyle angolo p angolo} $lungo prangolo$ . Come con la posizione media, è possibile fare un argomento di simmetria, che porta a

sesso P sesso = 0.

$langprng =0$ .

8. calcolare sessoP2sesso{ displaystyle angolo p^{2} angolo } $angolo p^{{2}}angolo$ . Invece di applicare direttamente la funzione d`onda per calcolare questo valore atteso, possiamo usare l`energia della funzione d`onda per semplificare i calcoli necessari. L`energia dello stato fondamentale dell`oscillatore armonico è data di seguito.

e 0 = \frac{1}{2} ℏ Ω

$E_{{0}}={frac{1}{2}}hbar omega$

9. Metti in relazione l`energia dello stato fondamentale con l`energia cinetica e potenziale della particella. Ci si aspetta che questa relazione sia valida non solo per ogni posizione e impulso, ma anche per i loro valori di aspettativa.

\frac{1}{2} ℏ Ω = sesso P 2 sesso 2 m + \frac{1}{2} m Ω^{2} sesso X^{2} sesso

${frac{1}{2}}hbar omega ={frac{langle p^{{2}}rangle }{2m}}+{frac{1}{2}}momega ^ {{2}}angolo x^{{2}}angolo$

10. Risolvere per sessoP2sesso{ displaystyle angolo p^{2} angolo } $angolo p^{{2}}angolo$ .

m ℏ Ω = sesso P 2 sesso + m^{2} Ω^{2} ℏ 2 m Ω

$mhbar omega =angolo p^{{2}}angolo +m^{{2}}omega ^{{2}}{frac{hbar }{2momega }}$

sesso P 2 sesso = m ℏ Ω 2

$angolo p^{{2}}angolo ={frac{mhbar omega }{2}}$

11. Arriva all`incertezza nella dinamica.

Σ P = \sqrt{} m ℏ Ω 2

$sigma _{{p}}={sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}$

Parte 3 di 3: Verifica della relazione di incertezza

1. Si consideri il principio di indeterminazione di Heisenberg per posizione e quantità di moto. La relazione di incertezza è un limite fondamentale alla precisione con cui possiamo misurare determinate coppie di dati osservabili, come posizione e quantità di moto. Dai un`occhiata ai suggerimenti per ulteriori informazioni sul principio di indeterminazione.

$Σ X Σ_{P} \geq \frac{ℏ}{2}$ $sigma _{{x}}sigma _{{p}}geq {frac{hbar }{2}}$

2. Sostituisci le incertezze dell`oscillatore armonico quantistico.

\begin{matrix}  \end{matrix} \sqrt{ℏ} 2 m Ω \sqrt{} m ℏ Ω 2 \geq \frac{ℏ}{2} \frac{ℏ}{2} & \geq \frac{ℏ}{2}

${begin{allineato}{sqrt{{frac{hbar }{2momega }}}}{sqrt{{frac{mhbar omega }{2}}}}&geq { frac{hbar }{2}}\{frac{hbar }{2}}&geq {frac{hbar }{2}}end{aligned}}$

I nostri risultati sono in linea con il principio di indeterminazione. In effetti, questa relazione raggiunge solo l`uguaglianza dello stato fondamentale: supponendo uno stato energetico più elevato, l`incertezza della posizione e della quantità di moto aumenta solo.

Consigli

Ci sono due modi in cui possiamo spiegare la domanda sul perché esiste la relazione di incertezza.

Dalla meccanica ondulatoria, le espressioni della funzione d`onda in termini di posizione e dinamica, sono trasformate di Fourier l`una dell`altra. Una proprietà della trasformata di Fourier è che una funzione e la sua trasformata di Fourier non sono entrambe localizzate in modo univoco.
Un semplice esempio è la trasformata di Fourier della funzione rettangolare. Quando la larghezza della funzione diminuisce (diventa più localizzata), la trasformata di Fourier (una curva sinusoidale) diventa sempre più piatta. Un esempio estremo è la funzione delta di Dirac, dove la larghezza è infinitesima (località perfetta). La trasformata di Fourier è una costante (incertezza infinita).
L`altro modo di vederlo è dalla meccanica delle matrici. Gli operatori posizione e quantità di moto hanno una relazione di commutazione diversa da zero. Se due operatori commutano, la loro relazione di commutazione sarebbe zero, come indicato dalle parentesi sottostanti.

$[\hat{X}, \hat{P}] = \hat{X} \hat{P} - \hat{P} \hat{X} = io ℏ$ $[{hat{x}},{hat{p}}]={hat{x}}{hat{p}}-{hat{p}}{hat{x}}=i hbar$

Si scopre che questa relazione di commutazione deve implicare un principio di indeterminazione fondamentale. Quando un operatore

\hat{X}

${cappello{x}}$ agisce su uno stato, quindi la funzione d`onda collassa all`autostato di

\hat{X}

${cappello{x}}$ con una misura unica (l`autovalore). Tuttavia, l`autostato di

\hat{X}

${cappello{x}}$ non deve essere un autostato di un altro operatore

\hat{P} .

${cappello{p}}$ In tal caso, non esiste una misura univoca per i dati osservabili

P,

$P,$ il che significa che lo stato può essere scritto solo come una combinazione lineare di autostati basati sulla quantità di moto. (Quando due operatori commutano, hanno in comune un insieme simultaneo di autostati (chiamato anche degenerazione) e i due dati osservabili possono essere misurati simultaneamente con una precisione arbitraria. Questo è sempre il caso della meccanica classica.)

Questa è la fonte del principio di indeterminazione. Non è a causa dei limiti dei nostri strumenti che non possiamo misurare la posizione e la quantità di moto di una particella con una precisione arbitraria. Piuttosto, è una proprietà fondamentale delle particelle stesse.