Come Sapere se una Funzione è Pari o Dispari: 8 Passaggi (con Immagini)

Contenuto

Passi
- Metodo 1 di 2: test algebrico della funzione
- Metodo 2 di 2: testare la funzione graficamente
Consigli
Avvertimento

Un modo per classificare le funzioni è "pari", "dispari" o nessuno dei due. Questi termini si riferiscono alla ripetizione o alla simmetria della funzione. Il modo migliore per scoprirlo è manipolare algebricamente la funzione. Puoi anche studiare il grafico della funzione e cercare la simmetria. Una volta che sai come classificare le caratteristiche, puoi anche prevedere l`aspetto di determinate combinazioni di caratteristiche.

Passi

Metodo 1 di 2: test algebrico della funzione

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Passaggio 1

1. Visualizza variabili inverse. In algebra il reciproco di una variabile è negativo. Questo è vero o la variabile della funzione ora

X

$X$ è o qualcos`altro. Se la variabile della funzione originale è già negativa (o una sottrazione), allora il suo reciproco è positivo (o un`addizione). Di seguito sono riportati alcuni esempi di variabili e loro inversi:

L`inverso di $X$ $X$ è $- X$ $-X$
L`inverso di $Q$ $Q$ è $- Q$ $-Q$
L`inverso di $- w$ $-w$ è $w$ $w$ .

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Step 2

2. Sostituisci ogni variabile della funzione con la sua inversa. Non modificare la funzione originale tranne il carattere. Ad esempio:

F (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ sta diventando

F (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

G (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ sta diventando

G (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ sta diventando

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Step 3

3. Semplifica la nuova funzionalità. A questo punto non devi preoccuparti di risolvere la funzione per un dato valore numerico. Semplifichi semplicemente le variabili per confrontare la nuova funzione, f(-x), con la funzione originale, f(x). Ricorda le regole di base degli esponenti che dicono che una base negativa per una potenza pari sarà positiva, mentre una base negativa per una potenza dispari sarà negativa.

F (- X) = 4 (- X) 2 - 7

$f(-x)=4(-x)^{2}-7$

F (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$

G (- X) = 5 (- X) 5 - 2 (- X)

$g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$

G (- X) = 5 (- X 5) + 2 X

$g(-x)=5(-x^{5})+2x$

G (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$

h (- X) = 7 (- X) 2 + 5 (- X) + 3

$h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Step 4

4. Confronta le due funzioni. Per ogni esempio che provi, confronta la versione semplificata di f(-x) con l`originale f(x). Metti i termini fianco a fianco per un facile confronto e confronta i segni di tutti i termini.

Se i due risultati sono gli stessi, allora f(x)=f(-x) e la funzione originale è pari. Un esempio è:

F (X) = 4 X 2 - 7

$f(x)=4x^{2}-7$ e

F (- X) = 4 X 2 - 7

$f(-x)=4x^{2}-7$ .

Questi due sono gli stessi e quindi la funzione è pari.

Se ogni termine della nuova versione della funzione è il reciproco del termine corrispondente dell`originale, allora f(x)=-f(-x) e la funzione è dispari. Ad esempio:

G (X) = 5 X 5 - 2 X

$g(x)=5x^{5}-2x$ ma

G (- X) = - 5 X 5 + 2 X

$g(-x)=-5x^{5}+2x$ .

Nota che se moltiplichi ogni termine della prima funzione per -1, crei la seconda funzione. Quindi la funzione originale g(x) è dispari.

Se la nuova funzione non corrisponde a nessuno di questi due esempi, non è né pari né dispari. Ad esempio:

h (X) = 7 X 2 + 5 X + 3

$h(x)=7x^{2}+5x+3$ ma

h (- X) = 7 X 2 - 5 X + 3

$h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Il primo termine è lo stesso in ogni funzione, ma il secondo termine è un inverso. Pertanto, questa funzione non è né pari né dispari.

Metodo 2 di 2: testare la funzione graficamente

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Passaggio 5

1. Grafico della funzione. Utilizzare carta millimetrata o una calcolatrice grafica per rappresentare graficamente la funzione. Scegli diversi valori numerici per

X

$X$ e inseriscilo nella funzione per ottenere il valore risultante di

y

$y$ calcolare. Traccia questi punti sul grafico e dopo aver tracciato diversi punti traccia una linea attraverso di essi per rappresentare graficamente la funzione.

Quando si tracciano i punti, prestare attenzione ai valori negativi positivi e corrispondenti per $X$ $X$ . Ad esempio, se hai a che fare con la funzione $F (X) = 2 X 2 + 1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , quindi traccia i seguenti valori:

$F (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Questo si traduce nel punto $(1, 3)$ $(1.3)$ .
$F (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Questo si traduce nel punto $(2, 9)$ $(2.9)$ .
$F (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3$ $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Questo si traduce nel punto $(- 1, 3)$ $(-1,3)$ .
$F (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9$ $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Questo si traduce nel punto $(- 2, 9)$ $(-2,9)$ .

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Passaggio 6

2. Nota la simmetria lungo l`asse y. Quando si osserva una funzione, la simmetria suggerisce un`immagine speculare. Se vedi che la parte del grafico sul lato destro (positivo) dell`asse y corrisponde alla parte del grafico sul lato sinistro (negativo) dell`asse y, allora il grafico è simmetrico rispetto all`asse yash. Se una funzione è simmetrica rispetto all`asse y, allora la funzione è pari.

È possibile verificare la simmetria selezionando i singoli punti. Se il valore y di qualsiasi valore x è uguale al valore y di -x, allora la funzione è pari. I punti scelti sopra per il tracciamento

F (X) = 2 X 2 + 1

$f(x)=2x^{2}+1$ dare i seguenti risultati:

(1.3) e (-1.3)

(2.9) e (-2.9).

I valori y corrispondenti per x=1 e x=-1, e per x=2 e x=-2, indicano che questa è una funzione pari. Per un test migliore, selezionare due punti non è un`evidenza sufficiente, ma è una buona indicazione.

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Step 7

3. Verifica della simmetria dall`origine. L`origine è il punto centrale (0,0). La simmetria dell`origine significa che un risultato positivo per un valore x scelto corrisponderà a un risultato negativo per -x e viceversa. Le funzioni dispari mostrano la simmetria dell`origine.

Se scegli una coppia di valori di test per x e i loro valori corrispondenti inversi per -x, dovresti ottenere risultati inversi. Considera la caratteristica

F (X) = X 3 + X

$f(x)=x^{3}+x$ . Questa funzione restituisce i seguenti punti:

F (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2

$f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . Il punto è (1,2).

F (- 1) = (- 1) 3 + (- 1) = - 1 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . Il punto è (-1,-2).

F (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10

$f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . Il punto è (2,10).

F (- 2) = (- 2) 3 + (- 2) = - 8 - 2 = - 10

$f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . Il punto è (-2,-10).

Quindi f(x)=-f(-x), e puoi concludere che la funzione è dispari.

Immagine titolata Scopri se una funzione è pari o dispari Step 8

4. Vedi se non c`è simmetria. L`ultimo esempio è una funzione senza simmetria su entrambi i lati. Se guardi il grafico vedrai che non è un`immagine speculare né sull`asse y né attorno all`origine. Visualizza la funzione

F (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ .

Scegli una coppia di valori per x e -x, come segue:

F (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4

$f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Il punto da tracciare è (1,4).

F (- 1) = (- 1) 2 + 2 (- 1) + (- 1) = 1 - 2 - 1 = - 2

$f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Il punto da tracciare è (-1,-2).

F (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10

$f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Il punto da tracciare è (2,10).

F (- 2) = (- 2) 2 + 2 (- 2) + (- 2) = 4 - 4 - 2 = - 2

$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Il punto da tracciare è (2,-2).

Questo ti dà già abbastanza punti per notare che non c`è simmetria. I valori y per coppie opposte di valori x non sono gli stessi, né sono l`uno inverso dell`altro. Questa funzione non è né pari né dispari.

Potresti vedere questa funzione,

F (X) = X 2 + 2 X + 1

$f(x)=x^{2}+2x+1$ , può essere riscritto come

F (X) = (X + 1) 2

$f(x)=(x+1)^{2}$ . Scritta in questa forma, sembra una funzione pari perché c`è un solo esponente, ed è un numero pari. Tuttavia, questo esempio illustra che non è possibile determinare se una funzione è pari o dispari quando è racchiusa tra parentesi. Devi valutare la funzione in termini individuali e quindi esaminare gli esponenti.

Consigli

Se tutte le forme di una variabile nella funzione hanno esponenti pari, la funzione è pari. Se tutti gli esponenti sono dispari, la funzione è complessivamente dispari.

Avvertimento

Questo articolo si applica solo alle funzioni con due variabili che possono essere rappresentate graficamente in un sistema di coordinate bidimensionale.