Binomi di Factoring (con Immagini)

Contenuto

Passi
Consigli
Avvertenze

In algebra, i binomi sono espressioni di due termini collegate da un segno più o meno, ad esempio $un X + B$ $ascia+b$ . Il primo termine include sempre una variabile, mentre il secondo termine non è necessario. Fattorizzazione di un binomio significa cercare termini più semplici che, quando moltiplicati insieme, producono quell`espressione binomiale, che aiuta a risolvere o semplificare per ulteriori compiti.

Passi

Parte 1 di 3: Factoring Binomi

Immagine titolata Factor Binomials Step 1

1. Ripassa di nuovo le basi del factoring. Il factoring sta dividendo un gran numero nei suoi divisori più semplici. Ognuna di queste parti è chiamata `fattore`. Ad esempio, il numero 6 è divisibile per quattro numeri diversi: 1, 2, 3 e 6. Quindi 1, 2, 3 e 6 sono i fattori di 6.

I fattori di 32 sono 1, 2, 4, 8, 16 e 32
Sia `1` che il numero che fattorizzi sono sempre fattori. Quindi i fattori di un numero piccolo come 3 sono solo 1 e 3.
I fattori sono solo quei numeri che sono completamente divisibili, cioè i numeri "interi". Potresti dividere 32 per 3,564 o 21,4952, ma quelli non sono fattori, solo numeri decimali.

Immagine titolata Factor Binomials Step 2

2. Elenca i termini del binomio per facilitarne la lettura. Un binomio non è altro che l`addizione o la sottrazione di due termini, almeno uno dei quali contiene una variabile. A volte queste variabili hanno esponenti, come

X 2

$x^{2}$ o

5 y 4

$5 anni^{4}$ . Se stai cercando di fattorizzare i binomi per la prima volta, è utile ordinare le equazioni in termini di variabili discendenti, il che significa che l`esponente più grande viene per ultimo. Ad esempio:

3 T + 6

$3t+6$ →

6 + 3 T

$6+3 tonnellate$

3 X 4 + 9 X^{2}

$3 volte^{4}+9 volte^{2}$ →

9 X 2 + 3 X^{4}

$9 volte^{2}+3 volte^{4}$

X 2 - 2

$x^{2}-2$ →

- 2 + X 2

$-2+x^{2}$

Nota come i segni meno rimangono davanti al 2. Quando un termine viene sottratto, il segno meno rimane davanti ad esso.

Immagine titolata Factor Binomials Step 3

3. Trova il massimo comun divisore di entrambi i termini. Ciò significa che stai cercando il numero più grande per cui entrambe le parti del binomio sono divisibili. Se questo non funziona, fattorizza entrambi i numeri da soli e guarda qual è il numero corrispondente più alto. Ad esempio:

Compito dell`esercizio:

3 T + 6

$3t+6$ .

Fattori di 3:1, 3

Fattori di 6: 1, 2, 3, 6.

`Il massimo comun divisore è 3`.

Immagine titolata Factor Binomials Step 4

4. Dividi il massimo comun divisore per ogni termine. Se conosci il denominatore comune, devi rimuoverlo da ogni termine. Nota che dividi semplicemente i termini rendendo ciascuno un problema di divisione più piccolo. Se eseguite correttamente, entrambe le equazioni hanno lo stesso fattore:

Compito dell`esercizio:

3 T + 6

$3t+6$ .

Trova i massimi comun divisori: 3

Per rimuovere il fattore da entrambi i termini:

3 T 3 + \frac{6}{3} = T + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Immagine titolata Factor Binomials Step 5

5. Moltiplica il tuo fattore per l`espressione risultante per arrotondare. Nell`ultimo problema hai rimosso un 3 e ottieni

T + 2

$t+2$ . Ma non vuoi eliminare completamente i 3, considerali solo per semplificare le cose. Non puoi semplicemente cancellare i numeri senza reinserirli! Moltiplica il fattore per l`espressione per completare questa sezione. Ad esempio:

Compito dell`esercizio:

3 T + 6

$3t+6$

Trova i massimi comun divisori: 3

Per rimuovere il fattore da entrambi i termini:

3 T 3 + \frac{6}{3} = T + 2

${frac{3t}{3}}+{frac{6}{3}}=t+2$

Moltiplica il fattore per una nuova espressione:

3 (T + 2)

$3(t+2)$

Risposta finale sciolta: $3 (T + 2)$ $3(t+2)$

Immagine titolata Factor Binomials Step 6

6. Controlla il tuo lavoro moltiplicando per l`equazione originale. Se hai fatto tutto bene, è facile verificare se l`hai fatto bene. Moltiplica il tuo fattore per entrambi i singoli termini tra parentesi. Se corrisponde al binomio originale dato, allora hai fatto tutto bene. Dall`inizio alla fine risolviamo l`espressione

12 T + 18

$12t+18$ avanti per esercitarsi:

Per riordinare i termini:

18 + 12 T

$18+12t$

Trovare il massimo comun divisore:

6

$6$

Per rimuovere il fattore da entrambi i termini:

18 T 6 + 12 T 6 = 3 + 2 T

${frac{18t}{6}}+{frac{12t}{6}}=3+2t$

Moltiplica il fattore per una nuova espressione:

6 (3 + 2 T)

$6(3+2t)$

Controlla la risposta:

(6 * 3) + (6 * 2 T) = 18 + 12 T

$(6*3)+(6*2t)=18+12t$

Parte 2 di 3: Fattorizzazione di binomi per risolvere equazioni

Immagine titolata Factor Binomials Step 7

1. Fattore per semplificare le equazioni in modo che siano più facili da risolvere. Quando si risolve un`equazione con binomi, in particolare binomi complessi, può sembrare che non ci sia modo di far combaciare tutto. Ad esempio, prova a risolvere quanto segue:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$ . Un modo per farlo, specialmente con gli esponenti, è quello di fattorizzare prima.

Compito dell`esercizio: $5 y - 2 y 2 = - 3 y$ $5a-2a^{2}=-3a$
Ricorda che i binomi possono avere solo due termini. Se ci sono più di due termini, devi impara a risolvere i polinomi.

Immagine titolata Factor Binomials Step 8

2. Somma e sottrai in modo che un lato dell`equazione sia uguale a zero. L`intera strategia si basa su uno dei fatti fondamentali della matematica: qualcosa moltiplicato per zero deve essere uguale a zero. Quindi, se la tua equazione è uguale a zero, uno dei termini fattorizzati deve essere uguale a zero! Per iniziare, dovrai sommare e sottrarre in modo che un lato sia uguale a zero.

Compito dell`esercizio:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

Uguale a zero:

5 y - 2 y 2 + 3 y = - 3 y + 3 y

$5a-2a^{2}+3a=-3a+3a$

8 y - 2 y 2 = 0

$8a-2a^{2}=0$

Immagine titolata Factor Binomials Step 9

3. Sciogli il lato diverso da zero come sei abituato. A questo punto stai solo fingendo che l`altro lato non esista. Trova il massimo comun divisore, dividilo, quindi crea la tua espressione fattorizzata.

Compito dell`esercizio:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

Uguale a zero:

8 y - 2 y 2 = 0

$8a-2a^{2}=0$

Sciogliere:

2 y (4 - y) = 0

$2y(4-y)=0$

Immagine titolata Factor Binomials Step 10

4. Imposta i termini dentro e fuori le parentesi uguali a zero. Nel problema pratico moltiplichi 2y per (4 – y), e questo deve essere uguale a zero. Poiché qualcosa moltiplicato per zero è uguale a zero, ciò significa che 2y o (4 – y) deve essere uguale a zero. Crea due equazioni separate per scoprire quale valore deve avere y per rendere entrambi i lati uguali a zero.

Compito dell`esercizio:

5 y - 2 y 2 = - 3 y

$5a-2a^{2}=-3a$

Uguale a zero:

8 y - 2 y 2 + 3 y = 0

$8a-2a^{2}+3a=0$

Sciogliere:

2 y (4 - y) = 0

$2y(4-y)=0$

Rendi entrambi i termini uguali a zero 0:

2 y = 0

$2y=0$

4 - y = 0

$4-y=0$

Immagine titolata Factor Binomials Step 11

5. Risolvi entrambe le equazioni per zero per la risposta o le risposte finali. Puoi ottenere una o più risposte. Ricorda, solo un lato deve essere uguale a zero, quindi puoi ottenere alcuni valori diversi per y che risolvono la stessa equazione. Gli ultimi passi dell`esercitazione:

2 y = 0

$2y=0$

2 y 2 = \frac{0}{2}

${frac{2y}{2}}={frac{0}{2}}$

y = 0

4 - y = 0

$4-y=0$

4 - y + y = 0 + y

$4-y+y=0+y$

y = 4

Immagine titolata Factor Binomials Step 12

6. Applica le tue risposte all`equazione originale per assicurarti che siano corrette. Una volta che hai trovato i valori giusti per y, dovresti essere in grado di usarli per risolvere l`equazione. Questo è semplice come provare ogni valore di y invece della variabile come mostrato di seguito. Le risposte sono y = 0 e y = 4, quindi:

5 (0) - 2 (0) 2 = - 3 (0)

$5(0)-2(0)^{2}=-3(0)$

0 + 0 = 0

$0+0=0$

0 = 0

$0=0$ Questa risposta è corretta

5 (4) - 2 (4) 2 = - 3 (4)

$5(4)-2(4)^{2}=-3(4)$

20 - 32 = - 12

$20-32=-12$

- 12 = - 12

$-12=-12$ Anche questa risposta è corretta.

Parte 3 di 3: Affrontare problemi più difficili

Immagine titolata Factor Binomials Step 13

1. Ricorda che le variabili contano come fattori, anche con esponenti. Ricorda che la fattorizzazione riguarda la determinazione di quali numeri rientrano nell`intero. L`espressione

X 4

$x^{4}$ è un altro modo di dire

X * X * X * X

$x*x*x*x$ . Ciò significa che puoi inserire qualsiasi x fuori parentesi se anche l`altro termine ne ha una. Tratta le variabili come numeri regolari. Ad esempio:

$2 T + T 2$ $2t+t^{2}$ può essere scomposto, perché entrambi i termini contengono una t. La risposta finale sarà $T (2 + T)$ $t(2+t)$
Puoi anche inserire più variabili al di fuori delle parentesi contemporaneamente. Ad esempio, nel $X 2 + X^{4}$ $x^{2}+x^{4}$ entrambi i termini contengono lo stesso $X 2$ $x^{2}$ . Puoi dissolverlo $X 2 (1 + X^{2})$ $x^{2}(1+x^{2})$

Immagine titolata Factor Binomials Step 14

2. Riconoscere binomi non ancora semplificati combinando termini simili. Prendi, ad esempio, l`espressione

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$ . Qui sembra che tu abbia a che fare con quattro termini, ma se guardi più da vicino ti accorgerai che ce ne sono solo due. Puoi aggiungere termini simili e poiché sia 6 che 14 non hanno variabili e 2x e 3x condividono la stessa variabile, possono essere uniti. La dissoluzione è quindi facile:

Incarico originale:

6 + 2 X + 14 + 3 X

$6+2x+14+3x$

Per riordinare i termini:

2 X + 3 X + 14 + 6

$2x+3x+14+6$

Per unire termini simili:

5 X + 20

$5x+20$

Trova i massimi comun divisori:

5 (X) + 5 (4)

$5(x)+5(4)$

Sciogliere:

5 (X + 4)

$5(x+4)$

Immagine titolata Factor Binomials Step 15

3. Riconosci la speciale "differenza dei quadrati perfetti". Un quadrato perfetto è un numero la cui radice è un intero, ad esempio

9

$9$

(3 * 3)

$(3*3)$ ,

X 2

$x^{2}$

(X * X)

$(x*x)$ , o anche

144 T 2

$144t^{2}$

(12 T * 12 T)

$(12t*12t)$ Se il tuo binomio è una somma meno con due quadrati perfetti, come

un 2 - B^{2}

$a^{2}-b^{2}$ , quindi puoi semplicemente usarli in questa formula:

La formula per la differenza dei quadrati perfetti:

un 2 - B^{2} = (un + B) (un - B)

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Compito dell`esercizio:

4 X 2 - 9

$4x^{2}-9$

Determina le radici quadrate:

\sqrt{4 X} 2 = 2 X

${sqrt{4x^{2}}}=2x$

\sqrt{9} = 3

${sqrt{9}}=3$

Applicare le radici quadrate alla formula: $4 X 2 - 9 = (2 X + 3) (2 X - 3)$ $4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)$

Immagine titolata Factor Binomials Step 16

4. Impara a semplificare la "differenza dei cubi perfetti". Come i quadrati perfetti, questa è una formula semplice in cui due cubi vengono sottratti l`uno dall`altro. Ad esempio,

un 3 - B^{3}

$a^{3}-b^{3}$ . Come prima, trova la radice cubica di ciascuno e usala nella formula:

Formula per la differenza delle terze potenze:

un 3 - B^{3} = (un - B) ({un}^{2} + un B + B^{2})

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Compito dell`esercizio:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Determina le radici del cubo:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Applicare i cubi alla formula: $8 X 3 - 27 = (2 X - 3) (4 X^{2} + 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$

Immagine titolata Factor Binomials Step 17

5. Sappi che la somma dei cubi perfetti rientra anche in una formula. A differenza della differenza dei quadrati perfetti, puoi usare cubi aggiunti, come

un 3 + B^{3}

$a^{3}+b^{3}$ , anche facile da trovare con una formula semplice. Questo è quasi esattamente lo stesso di sopra, ma con alcuni vantaggi e svantaggi invertiti. La formula è facile come le altre due e tutto ciò che devi fare è riconoscere i due cubi nel problema:

Formula per la somma dei cubi perfetti:

un 3 + B^{3} = (un + B) ({un}^{2} - un B + B^{2})

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Compito dell`esercizio:

8 X 3 - 27

$8x^{3}-27$

Determina le radici del cubo:

8 X 33 = 2 X

${sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x$

273 = 3

${sqrt[ {3}]{27}}=3$

Applica i cubi alla formula: $8 X 3 - 27 = (2 X + 3) (4 X^{2} - 6 X + 9)$ $8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$

Consigli

Non tutti i binomi hanno divisori comuni! Alcuni sono già stati semplificati il più possibile.
Se non sei sicuro che esista un divisore comune, dividi prima per numeri più piccoli. Ad esempio, se non vedi immediatamente che 16 è il divisore comune di 32 e 16, inizia a dividere entrambi i numeri per 2. Rimangono 16 e 8, che possono anche essere divisi per 8. Ora hai 2 e 1, i fattori più piccoli. C`è chiaramente un divisore comune maggiore di 8 e 2.
Si noti che una sesta potenza (x) è sia un quadrato perfetto e è un cubo perfetto. Quindi puoi applicare una delle formule speciali sopra, in qualsiasi ordine, a un binomio che è la differenza di seste potenze perfette, come x - 64. Tuttavia, potresti trovare più facile applicare prima la formula della differenza per i quadrati perfetti in modo da poter fattorizzare ulteriormente il binomio.