Trovare ogni Termine di una Sequenza Aritmetica

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Passi
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Una sequenza aritmetica è qualsiasi sequenza di numeri che, consecutivamente, differiscono l`uno dall`altro di un valore costante. Ad esempio, la sequenza di numeri pari, $0, 2, 4, 6, 8$ $0.2,4,6,8$ … è una sequenza aritmetica, perché la differenza di un numero nella sequenza rispetto al successivo è sempre uguale a due. Se sai di avere a che fare con una sequenza aritmetica, ti potrebbe essere chiesto di determinare il numero successivo nella sequenza. Potrebbe anche essere richiesto di inserire un numero mancante nella sequenza. E alla fine potresti voler sapere come determinare il centesimo numero senza effettivamente scrivere tutti i cento numeri sul. Alcuni semplici passaggi possono aiutarti in ciascuna di queste attività.

Passi

Metodo 1 di 4: Trovare il numero successivo in una sequenza aritmetica

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 1

1. Trova il fattore di differenza della serie. Quando ti viene presentata una raccolta di numeri, si può affermare che si tratta di una sequenza aritmetica, oppure dovrai inventarla tu stesso. Almeno il primo passo è lo stesso. Seleziona i primi due numeri consecutivi nel set. Sottrarre il primo numero dal secondo numero. Il risultato è il fattore di differenza della tua serie.

Ad esempio, supponiamo di avere la collezione $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Fallo allora $4 - 1$ $4-1$ per ottenere il fattore di differenza 3.
Supponiamo di avere una raccolta di numeri decrescenti, ad esempio $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Quindi sottrai ancora il primo numero dal secondo per trovare la differenza. In questo caso, questo dà $21 - 25 = - 4$ $21-25=-4$ . Il risultato negativo significa che la tua collezione diminuisce da sinistra a destra. Assicurati sempre che il segno della differenza corrisponda alla direzione in cui sembrano andare i numeri.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 2

2. Controlla se il fattore di differenza è costante. Determinare il fattore di differenza solo per i primi due numeri non garantisce che l`insieme sia una sequenza aritmetica. Devi essere sicuro che la differenza sia mantenuta in modo coerente per tutta la serie. Verificare la differenza sottraendo due numeri consecutivi nell`insieme. Se il risultato è coerente per una o due altre coppie di numeri, probabilmente hai a che fare con una sequenza aritmetica.

Continuiamo a lavorare con lo stesso esempio,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ Scegli il secondo e il terzo numero del set. fare

7 - 4

$7-4$ e vedrai che la differenza è ancora uguale a 3. Per confermare questo, scegli un altro esempio e fallo

13 - 10

$13-10$ per scoprire che la differenza è costantemente 3. Ora puoi essere ragionevolmente sicuro di avere a che fare con una sequenza aritmetica.

È possibile che un insieme di numeri sembri avere le proprietà di una sequenza aritmetica basata sui primi numeri e quindi deviare da essi. Ad esempio, prendi il set

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... La differenza tra il primo e il secondo numero è 1 e anche la differenza tra il secondo e il terzo numero è 1. Tuttavia, la differenza tra il terzo e il quarto numero è 3. Poiché la differenza non vale per tutti i numeri nell`intero insieme, questa non è una sequenza aritmetica.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 3

3. Somma il fattore di differenza all`ultimo numero. È facile trovare il numero successivo in una sequenza aritmetica quando si conosce il fattore di differenza. Basta aggiungere il fattore di differenza all`ultimo numero del set e otterrai il numero successivo.

Ad esempio, nell`esempio di

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., puoi determinare il numero successivo nell`insieme aggiungendo il fattore di differenza 3 all`ultimo numero dato. fare

13 + 3

$13+3$ e ottieni 16, che è il numero successivo. Puoi continuare ad aggiungere 3 per rendere la sequenza il tempo che desideri. Ad esempio, la sequenza può essere

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Puoi continuare con questo all`infinito.

Metodo 2 di 4: cerca un numero mancante

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 4

1. Conferma che stai iniziando con una sequenza aritmetica. In alcuni casi hai a che fare con una raccolta di numeri con un numero mancante nel mezzo. Come accennato in precedenza, inizia controllando che la tua collezione sia una sequenza aritmetica. Seleziona due numeri consecutivi e trova la differenza tra loro. Quindi confrontalo con altri due numeri consecutivi nella sequenza. Se la differenza è la stessa, puoi presumere di avere a che fare con una sequenza aritmetica e puoi continuare.

Ad esempio, supponiamo di avere la sequenza $0, 4$ $0.4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Inizia con la detrazione $4 - 0$ $4-0$ e ottieni 4 come differenza. Controlla questo rispetto ad altri due numeri consecutivi, come $16 - 12$ $16-12$ . La differenza è di nuovo 4. Ora puoi continuare.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 5

2. Aggiungi il fattore di differenza al numero per lo spazio vuoto. Ciò equivale ad aggiungere un numero alla fine di una sequenza. Trova il numero immediatamente prima dello spazio vuoto nella sequenza. Questo è l`"ultimo" numero conosciuto. Aggiungi la differenza trovata a questo numero e ottieni il numero che dovrebbe stare al posto dell`ignoto.

Nel nostro esempio,

0, 4

$0.4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., l`incognita è uguale a 4 e anche la differenza di questa serie è 4. Quindi questo viene sommato

4 + 4

$4+4$ e così ottieni 8, il numero che può essere compilato per l`ignoto.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 6

3. Sottrarre il fattore di differenza dal numero dopo l`incognita. Per assicurarti di aver trovato la risposta giusta, controlla di nuovo dall`altra direzione. Una sequenza aritmetica dovrebbe andare costantemente in una certa direzione. Se vai da sinistra a destra e continui ad aggiungere 4, puoi fare il contrario da destra a sinistra e sottrarre 4 dal numero precedente.

Nell`esempio,

0, 4

$0.4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ …, il numero subito dopo l`incognita è uguale a 12. Sottrarre il fattore di differenza 4 da questo numero e ottieni

12 - 4 = 8

$12-4=8$ . Il risultato 8 può quindi essere compilato per l`ignoto.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 7

4. Confronta i tuoi risultati. I due risultati che ottieni sommando (da sinistra a destra) o sottraendo (da destra a sinistra) dovrebbero corrispondere. In tal caso, hai trovato il numero mancante. Se non corrispondono, devi ricontrollare il tuo lavoro. Forse non hai a che fare con una pura sequenza aritmetica.

Nell`esempio, i due risultati di

4 + 4

$4+4$ e

12 - 4

$12-4$ entrambi rispondono 8. Quindi il numero mancante in questa sequenza aritmetica è 8. La serie completa è

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0.4,8,12,16,20$ ...

Metodo 3 di 4: Determina un termine arbitrario di una sequenza aritmetica

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 8

1. Trova il primo numero della serie. Non tutte le sequenze iniziano con i numeri 0 o 1. Guarda l`insieme di numeri che hai e trova il primo numero. Questo è il tuo punto di partenza, che può essere identificato con variabili, come a(1).

È prassi comune che le sequenze aritmetiche funzionino con la variabile a(1), che rappresenta il primo numero della sequenza. Ovviamente puoi scegliere qualsiasi variabile, ma il risultato dovrebbe essere lo stesso.
Ad esempio, data la serie $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ …, è il primo numero $3$ $3$ , che può essere matematicamente indicato come a(1).

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Step 9

2. Determina il fattore di differenza come d. Determinare il fattore di differenza per la serie come indicato sopra. In questo esempio, il fattore di differenza è uguale a

8 - 3

$8-3$ , e quindi 5. Quando si confronta con gli altri numeri nella sequenza, si ottiene lo stesso risultato. Indichiamo questo fattore di differenza con la variabile matematica d.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Step 10

3. Usa la formula esplicita. Una formula esplicita è un`equazione matematica che puoi usare per trovare qualsiasi numero in una sequenza aritmetica senza dover scrivere l`intera sequenza. La formula esplicita per una sequenza matematica è

un (n) = un (1) + (n - 1) D

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ .

Il numero a(n) può essere letto come "l`ennesimo numero di a", dove n è il numero nella sequenza che vuoi trovare e a(n) è il valore effettivo di quel numero. Ad esempio, se ti viene chiesto di trovare il centesimo elemento di una sequenza aritmetica, n è uguale a 100. Nota che n è uguale a 100, in questo esempio, ma a(n) è il valore del centesimo numero, non il numero 100 stesso.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Step 11

4. Compila tutti i dettagli per risolvere il problema. Usando questa formula esplicita per la tua sequenza, inserisci tutti i dati che hai a tua disposizione per determinare il numero di cui hai bisogno.

Ad esempio, in questo esempio,

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ …, sappiamo che a(1), il primo numero, è uguale a 3 e che il fattore di differenza d è uguale a 5. Supponiamo che ti venga chiesto di trovare il centesimo numero in quella sequenza. Allora n=100 e (n-1)=99. La formula esplicita completa, con i dati inseriti, è quindi

un (100) = 3 + (99) (5)

$a(100)=3+(99)(5)$ . Questo può essere semplificato a 498, il centesimo numero di quella serie.

Metodo 4 di 4: utilizzare la formula esplicita per ottenere più dati

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 12

1. Riordina la formula esplicita per trovare altre variabili. Usa la formula esplicita e un po` di algebra semplice per trovare varie informazioni sulla sequenza aritmetica. Nella sua forma originale (

un (n) = un (1) + (n - 1) D

$a(n)=a(1)+(n-1)d$ ), è la formula esplicita progettata per risolvere a_n e ti dà l`ennesimo numero della serie. Tuttavia, puoi manipolare questa formula matematicamente per risolvere anche altre variabili.

Ad esempio, supponiamo di conoscere la fine di una sequenza di numeri, ma vorresti conoscere l`inizio della sequenza. Quindi riordina la formula per ottenere $un (1) = (n - 1) D - un (n) .$ $a(1)=(n-1)d-a(n)$
Se conosci il punto iniziale e finale di una sequenza aritmetica, ma vuoi sapere quanti numeri ci sono nell`insieme, puoi usare la formula esplicita per risolvere n. Questo poi diventa $n = un (n) - un (1) D + 1$ $n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
Se vuoi prima esaminare le regole di base dell`algebra di cui hai bisogno per essere in grado di calcolarlo, leggi di più sull`algebra o semplici equazioni algebriche.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 13

2. Trova il primo numero di una serie. Potresti sapere che il 50° numero in una sequenza aritmetica è uguale a 300 e che i numeri aumentano di 7 (il fattore di differenza), ma vorresti sapere qual era il primo numero della sequenza. Usa la formula esplicita modificata per risolvere a1 per scoprire la tua risposta.

Usa l`equazione

un (1) = (n - 1) D - un (n)

$a(1)=(n-1)d-a(n)$ e inserisci tutte le informazioni che hai. Poiché sai che il 50° numero è 300, sai anche che n=50, n-1=49 e a(n)=300. Inoltre, viene fornito anche il fattore di differenza d, che è 7. Quindi la formula diventa

un (1) = (49) (7) - 300

$a(1)=(49)(7)-300$ . Questo è in fase di elaborazione

343 - 300 = 43

$343-300=43$ . La sequenza che hai iniziato a 43 e ha un fattore di differenza di 7. Quindi la sequenza sembra 43,50,57,64,71,78…293,300.

Immagine titolata Trova qualsiasi termine di una sequenza aritmetica Passaggio 14

3. Determina la lunghezza di una sequenza. Supponiamo di sapere come inizia e come finisce la sequenza, ma devi capire quanto è lunga la sequenza. Quindi utilizzare la formula modificata

n = un (n) - un (1) D + 1

$n={frac{a(n)-a(1)}{d}}+1$ .

Supponiamo di sapere che una data sequenza aritmetica inizia con 100 e somma con 13. Inoltre, è anche dato che l`ultimo numero è 2856. Per trovare la lunghezza della sequenza, usa i numeri a1=100, d=13 e a(n)=2856. Applicare questi numeri alla formula per ottenere

n = 2856 - 100 13 + 1

$n={frac{2856-100}{13}}+1$ . Una volta che avrai risolto questo problema, otterrai

n = \frac{2756}{13} + 1

$n={frac{2756}{13}}+1$ , che è uguale a 212+1, che è di nuovo 213. Ci sono 213 numeri in quella sequenza.

Questo esempio assomiglia a 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.

Avvertenze

Esistono diversi tipi di sequenze di numeri. Non dare per scontato che un insieme di numeri sia una sequenza aritmetica. Controlla sempre due coppie di numeri, preferibilmente tre o quattro, per trovare il fattore di differenza per l`insieme di numeri.