Trovare la somma di una sequenza aritmetica

Contenuto

Una sequenza aritmetica è una sequenza di numeri in cui ogni numero aumenta di un valore costante. Per la somma di una sequenza aritmetica, puoi sommare tutti i numeri insieme. Tuttavia, questo non è realmente pratico quando la sequenza contiene un gran numero di termini. Invece, puoi trovare rapidamente la somma di ogni sequenza aritmetica moltiplicando la media del primo e dell`ultimo numero per il numero di termini nella sequenza.

Passi

Parte 1 di 3: Analizzare la sequenza

Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 1
1. Assicurati di avere una sequenza aritmetica. Una sequenza aritmetica è un elenco ordinato di numeri, in cui il cambiamento dei numeri è costante. Questo metodo funziona solo se il tuo insieme di numeri è una sequenza aritmetica.
  • Per determinare se hai a che fare con una sequenza aritmetica, trova la differenza tra la prima o l`ultima coppia di numeri. Assicurati che la differenza sia sempre la stessa.
  • Ad esempio, la sequenza dei numeri 10, 15, 20, 25, 30 è una sequenza aritmetica, perché la differenza tra ogni numero è costantemente cinque.
Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 2
2. Determina il numero di termini nella tua sequenza. Ogni numero è un termine. Se viene menzionato un solo numero, puoi contarli. Se conosci il primo numero, l`ultimo numero e il fattore di differenza (la differenza tra ogni numero), puoi utilizzare una formula per determinare il numero di numeri. Questo numero è rappresentato dalla variabile n{ displaystyle n}n.
  • Ad esempio, se vuoi calcolare la somma delle serie 10, 15, 20, 25, 30, allora n=5{ displaystyle n=5}n=5, perché ci sono cinque numeri nella sequenza.
    • Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 3
    3. Trova il primo e l`ultimo numero della sequenza. Devi conoscere entrambi i numeri per calcolare la somma della sequenza aritmetica. Spesso il primo numero sarà uno, ma non sempre. Imposta la variabile un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} uguale al primo numero della sequenza, e unn{displaystyle a_{n}}un}} uguale all`ultimo numero della sequenza.
  • Ad esempio, nella sequenza 10, 15, 20, 25, 30 un1=10{displaystyle a_{1}=10}a_{{1}}=10, e unn=30{displaystyle a_{n}=30}a_{{n}}=30.

    • Parte 2 di 3: Calcola la somma

    Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 4
    1. Scrivi la formula per trovare la somma di una sequenza aritmetica. La formula è Sn=n(un1+unn2){displaystyle S_{n}=n({frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}S_{{n}}=n({frac{a_{{1}}+a_{{n}}}{2}}), per cui Sn{displaystyle S_{n}}S_{{n}} è uguale alla somma della serie.
    • Si noti che questa formula indica che la somma della sequenza aritmetica è uguale alla media del primo e dell`ultimo numero moltiplicata per il numero dei numeri.
    Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 5
    2. Inserisci i valori n{ displaystyle n}n, un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e unn{displaystyle a_{n}}un}} nella formula in. Assicurati di sostituire correttamente.
  • Ad esempio, se nella sequenza sono presenti cinque numeri, dove 10 è il primo numero e 30 è l`ultimo numero, la formula sarà simile alla seguente: Sn=5(10+302){displaystyle S_{n}=5({frac {10+30}{2}})}S_{{n}}=5({frac{10+30}{2}}).
    • Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 6
    3. Calcola la media del primo e del secondo numero. Lo fai sommando i due numeri e dividendo per due.
  • Ad esempio:
    Sn=5(402){displaystyle S_{n}=5({frac {40}{2}})}S_{{n}}=5({frac{40}{2}})
    Sn=5(20){displaystyle S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
    • Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 7
    4. Moltiplica la media per il numero di numeri della serie. Questo ti dà la somma della sequenza aritmetica.
  • Ad esempio:
    Sn=5(20){displaystyle S_{n}=5(20)}S_{{n}}=5(20)
    Sn=100{displaystyle S_{n}=100}S_{{n}}=100
    Quindi la somma delle serie (10, 15, 20, 25, 30) è uguale a 100.

    • Parte 3 di 3: Completamento dei problemi di esempio

    Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 8
    1. Trova la somma dei numeri da 1 a 500. Includere tutti gli interi consecutivi nel calcolo.
    • Determina il numero di termini (n{ displaystyle n}n) nella serie. Poiché stai contando tutti i numeri interi consecutivi fino a 500 inclusi, n=500{displaystyle n=500}n=500.
    • Determina il primo (un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e ultimo (unn{displaystyle a_{n}}un}}) numero nella sequenza. Poiché assumiamo la serie da 1 a 500, vale un1=1{displaystyle a_{1}=1}a_{{1}}=1 e unn=500{displaystyle a_{n}=500}a_{{n}}=500.
    • Trova la media di un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e unn{displaystyle a_{n}}un}}: 1+5002=250,5{displaystyle {frac {1+500}{2}}=250,5}{frac{1+500}{2}}=250,5.
    • Moltiplica la media per n{ displaystyle n}n: 250.5×500=125,250{ displaystyle 250.5volte 500=125.250}250.5volte 500=125.250.
    Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 9
    2. Trova la somma della sequenza aritmetica indicata. Il primo numero della sequenza è tre. L`ultimo numero della sequenza è 24. Il fattore di differenza è sette.
  • Determina il numero di numeri (n{ displaystyle n}n) nella serie. Poiché inizi con tre, finisci con 24 e aggiungi sette ogni volta, la sequenza di numeri è 3, 10, 17, 24. (Il fattore di differenza è la differenza tra ogni numero della serie.) Ciò significa che n=4{displaystyle n=4}n=4
  • Determina il primo (un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e ultimo (unn{displaystyle a_{n}}un}}) numero nella sequenza. Poiché la sequenza è da 3 a 24, un1=3{displaystyle a_{1}=3}a_{{1}}=3 e unn=24{displaystyle a_{n}=24}a_{{n}}=24.
  • Trova la media di un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e unn{displaystyle a_{n}}un}}: 3+242=13,5{displaystyle {frac {3+24}{2}}=13,5}{frac{3+24}{2}}=13,5.
  • Moltiplica la media per n{ displaystyle n}n: 13,5×4=54{ displaystyle 13,5 volte 4 = 54}13.5volte 4=54.
    • Immagine titolata Trova la somma di una sequenza aritmetica Step 10
    3. Risolvi il seguente problema. Mara risparmia 5 euro la prima settimana dell`anno. Per il resto dell`anno aumenta i suoi risparmi di 5 euro ogni settimana. Quanti soldi ha risparmiato Mara alla fine dell`anno?
  • Determina il numero di termini (n{ displaystyle n}n) nella serie. Perché Mara risparmia per 52 settimane, (1 anno), n=52{displaystyle n=52}n=52.
  • Determina il primo (un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}}) e ultimo (unn{displaystyle a_{n}}un}}) numero nella sequenza. Il primo importo che risparmia è di cinque euro, quindi un1=5{displaystyle a_{1}=5}a_{{1}}=5. Per calcolare l`importo totale risparmiato nell`ultima settimana dell`anno, calcoliamo 5×52=260{displaystyle 5volte 52=260}5volte 52=260. così unn=260{displaystyle a_{n}=260}a_{{n}}=260.
  • Determina la media di un1{displaystyle a_{1}}a_{{1}} e unn{displaystyle a_{n}}un}}: 5+2602=132,5{displaystyle {frac {5+260}{2}}=132,5}{frac{5+260}{2}}=132,5.
  • Moltiplica la media per n{ displaystyle n}n: 135,5×52=6890{ displaystyle 135,5 volte 52 = 6890}135,5volte 52=6890. Così ha risparmiato 6890 euro a fine anno.

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