Istruzioni passo passo gratis 
3x + 2x - 8 
6x + 13x + 6 
8x + 10x + 2 
27x - 12 = 0 
x + 4 x + 1 = 0 
y = x - x - 2 
Se non riesci a vedere dove la parabola si interseca con l`asse x, premi [2nd] e poi [TRACE]. Premere [2] o selezionare "zero". Spostare il cursore a sinistra di un incrocio e premere [ENTER]. Spostare il cursore sul lato destro di un incrocio e premere [ENTER]. Spostare il cursore il più vicino possibile all`incrocio e premere [ENTER]. La calcolatrice indicherà il valore x.Fai lo stesso per l`altro punto di intersezione. 
Fattorizzazione di equazioni quadratiche
Contenuto
Un polinomio contiene una variabile (x) elevata a una certa potenza e diversi termini e/o costanti. Per fattorizzare un polinomio, dovrai scomporre l`espressione in espressioni più piccole che vengono moltiplicate insieme. Ciò richiede un certo livello di matematica e quindi può essere difficile da capire se non sei ancora così lontano.
Passi
Metodo 1 di 7: per iniziare
1. L`equazione. Il formato standard per un`equazione quadratica è:
ax + bx + c = 0
Inizia ordinando i termini nella tua equazione dalla potenza più alta a quella più bassa. Ad esempio, prendi:
6 + 6x + 13x = 0
Riorganizzeremo questa espressione per semplificare il lavoro, semplicemente spostando i termini:
6x + 13x + 6 = 0
Inizia ordinando i termini nella tua equazione dalla potenza più alta a quella più bassa. Ad esempio, prendi:
Riorganizzeremo questa espressione per semplificare il lavoro, semplicemente spostando i termini:
2. Trova i fattori usando uno dei metodi seguenti. Fattorizzazione del polinomio risulterà in due espressioni più piccole che possono essere moltiplicate insieme per ottenere il polinomio originale:
6x + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
In questo esempio, (2x +3) e (3x + 2) sono fattori dall`espressione originale, 6x + 13x + 6.
In questo esempio, (2x +3) e (3x + 2) sono fattori dall`espressione originale, 6x + 13x + 6.
3. Controlla il tuo lavoro! Moltiplica i fattori che hai trovato. Combina i termini simili e il gioco è fatto. Iniziare con:
(2x + 3)(3x + 2)
Proviamo questo, moltiplicando i termini usando EBBL (first - external - inner - last), che ci dà:
6x + 4x + 9x + 6
Ora aggiungiamo 4x e 9x insieme perché questi sono termini uguali. Sappiamo che i fattori sono corretti perché otteniamo l`equazione con cui abbiamo iniziato:
6x + 13x + 6
Proviamo questo, moltiplicando i termini usando EBBL (first - external - inner - last), che ci dà:
Ora aggiungiamo 4x e 9x insieme perché questi sono termini uguali. Sappiamo che i fattori sono corretti perché otteniamo l`equazione con cui abbiamo iniziato:
Metodo 2 di 7: tentativi ed errori
Se hai un polinomio abbastanza semplice, potresti essere in grado di vedere subito quali sono i fattori. Ad esempio, dopo un po` di pratica, molti matematici sono in grado di vedere che l`espressione 4x + 4x + 1 ha i fattori (2x + 1) e (2x + 1) solo perché l`hanno visto così tante volte. (Ovviamente questo non sarà così facile con polinomi più complicati.) Prendiamo un`espressione meno standard per questo esempio:
1. Annotare i fattori del un termine e il C termine. Usa il formato ax + bx + c = 0, riconoscere il un e C termini e notare quali fattori ci sono. Per 3x + 2x - 8, questo significa:
a = 3 e ha 1 coppia di fattori: 1 * 3
c = -8 e ha 4 coppie di fattori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
2. Scrivi due coppie di parentesi con uno spazio vuoto. Qui inserisci le costanti di ogni espressione:
( x ) ( x )
3. Riempi lo spazio davanti alle x con alcuni possibili fattori di un dove la. Per il un termine nel nostro esempio, 3x, c`è solo 1 possibilità:
(3x)(1x)
4. Completa i 2 spazi dopo le x con alcuni fattori per le costanti. Supponiamo di scegliere 8 e 1. Inserisci questo:
(3x 8)(X 1)
5. Determina quali segni (più o meno) devono essere inseriti tra le variabili x e i numeri. A seconda dei segni dell`espressione originale, è possibile scoprire quali dovrebbero essere i segni delle costanti. Prendiamo le due costanti dei due fattori h e K menzionare:
Se ax + bx + c allora (x + h)(x + k)
Se ax - bx - c o ax + bx - c allora (x - h)(x + k)
Se ax - bx + c allora (x - h)(x - k)
Nel nostro esempio, 3x + 2x - 8, il segno è:(x - h)(x + k), che ci dà i seguenti due fattori:
(3x + 8) e (x - 1)
Nel nostro esempio, 3x + 2x - 8, il segno è:(x - h)(x + k), che ci dà i seguenti due fattori:
6. Metti alla prova la tua scelta con la moltiplicazione primo esterno-interno-ultimo. Un primo rapido test per vedere se il termine medio è almeno il valore giusto. In caso contrario, probabilmente hai sbagliato C fattori scelti. Proviamo la risposta:
(3x + 8)(x - 1)
Per moltiplicazione otteniamo:
3x - 3x + 8x - 8
Semplifica questa espressione aggiungendo i termini simili (-3x) e (8x) e otteniamo:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ora sappiamo che abbiamo preso i fattori sbagliati:
3x + 5x - 8 3x + 2x - 8
Per moltiplicazione otteniamo:
Semplifica questa espressione aggiungendo i termini simili (-3x) e (8x) e otteniamo:
Ora sappiamo che abbiamo preso i fattori sbagliati:
7. Scambia le tue scelte se necessario. Nel nostro esempio, proviamo 2 e 4, invece di 1 e 8:
(3x + 2)(x - 4)
Ora il nostro C termine uguale a -8, ma il prodotto esterno/interno di (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che non è corretto B termine o +2x ottiene.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Ora il nostro C termine uguale a -8, ma il prodotto esterno/interno di (3x * -4) e (2 * x) è -12x e 2x, che non è corretto B termine o +2x ottiene.
8. Invertire l`ordine se necessario. Proviamo a capovolgere 2 e 4:
(3x + 4)(x - 2)
Ora il nostro C termine (4 * 2 = 8) e ancora OK, ma i prodotti esterno/interno sono -6x e 4x.Combinando questi otteniamo:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Ci stiamo avvicinando abbastanza al 2x dove vorremmo essere, ma il segnale non è ancora giusto.
Ora il nostro C termine (4 * 2 = 8) e ancora OK, ma i prodotti esterno/interno sono -6x e 4x.Combinando questi otteniamo:
9. Ricontrolla i tuoi personaggi se necessario. Manteniamo questo ordine, ma lo scambiamo con il segno meno:
(3x - 4)(x + 2)
Ora il C termine ancora ok e i prodotti esterno/interno sono ora (6x) e (-4x). Perché:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Ora vediamo il positivo 2x indietro rispetto al problema originale. Questi devono essere i fattori giusti.
Ora il C termine ancora ok e i prodotti esterno/interno sono ora (6x) e (-4x). Perché:
Metodo 3 di 7: Decomposizione
Questo metodo fornisce tutti i possibili fattori di un e C termini e utilizzarli per scoprire quali fattori sono corretti. Se i numeri sono molto grandi, o la congettura di altri metodi richiederà troppo tempo, usa in questo modo. Un esempio:
1. Moltiplica il un termine con il C termine. In questo esempio,, un è 6 e C è anche 6.
6 * 6 = 36
2. Trovare la B termine mediante factoring e test. Cerchiamo 2 numeri che siano fattori di un * C , e insieme il B termine (13) modulo.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3. Sostituisci i due numeri che ottieni nella tua equazione come somma di B termine. Andiamo K e h per rappresentare i 2 numeri che abbiamo, 4 e 9:
ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4. Fattorizzare il polinomio per raggruppamento. Organizza l`equazione in modo da poter isolare il massimo comun divisore dei primi due termini e degli ultimi due termini. Entrambi i fattori dovrebbero essere gli stessi. Somma i GCD e mettili tra parentesi, accanto ai fattori; di conseguenza si ottengono i due fattori:
6x + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Metodo 4 di 7: Triple Play
Simile al metodo di decomposizione. Il metodo del "triplo gioco" esamina i possibili fattori del prodotto di un e C e usalo per scoprire cosa B deve essere. Prendi l`equazione come esempio:
1. Moltiplica il un termine con il C termine. Come con il metodo di scomposizione, lo usiamo per determinare i candidati per il B termine. In questo esempio: un è 8 e C è 2.
8 * 2 = 16
2. Trova i 2 numeri con questo numero come prodotto e con una somma uguale a B termine. Questo passaggio è equivalente al metodo di scomposizione: testiamo i candidati per le costanti. Il prodotto del un e C termini è 16, e il C il termine è 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
3. Prendi questi 2 numeri e sostituiscili nella formula "triplo gioco". Prendi i 2 numeri del passaggio precedente: mettiamoli h e K chiamali - e inseriscili nell`espressione:
((ax + h)(ax + k))/ a
Con questo otteniamo:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Con questo otteniamo:
4. Vedi quale dei due termini del denominatore può essere completamente diviso un. In questo esempio stiamo esaminando se (8x + 8) o (8x + 2) possono essere divisi per 8. (8x + 8) è divisibile per 8, quindi dividiamo questo termine per un e lasciamo stare l`altro.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Il termine che abbiamo mantenuto qui è quello rimasto dopo aver diviso per il un termine:(x + 1)
Il termine che abbiamo mantenuto qui è quello rimasto dopo aver diviso per il un termine:(x + 1)
5. Prendi il massimo comun divisore (gcd) di uno o entrambi i termini, se possibile. In questo esempio vediamo che il secondo termine ha gcd di 2, perché 8x + 2 = 2(4x + 1). Combina questa risposta con il termine che hai scoperto nel passaggio precedente. Questi sono i fattori della tua equazione.
2(x + 1)(4x + 1)
Metodo 5 di 7: La differenza tra due quadrati
Alcuni coefficienti in un polinomio possono essere riconosciuti come `quadrati`, o anche come prodotto di 2 numeri uguali. Scoprendo quali sono questi quadrati, potresti essere in grado di fattorizzare i polinomi molto più velocemente. Prendiamo l`equazione:
1. Rimuovere il gcd dall`equazione, se possibile. In questo caso vediamo che 27 e 12 sono entrambi divisibili per 3, quindi possiamo metterli separatamente:
27x - 12 = 3(9x - 4)
2. Determina se i coefficienti della tua equazione sono quadrati. Per utilizzare questo metodo è necessario essere in grado di determinare la radice dei termini. (Nota che abbiamo omesso i decimali - poiché questi numeri sono quadrati, potrebbero essere il prodotto di 2 numeri negativi)
9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
3. Usando la radice quadrata che hai determinato, ora puoi scrivere i fattori. Prendiamo il un e C valori del passaggio precedente: un = 9 e C = 4, quindi le radici di questo sono: - √un = 3 eC = 2. Questi sono i coefficienti delle espressioni fattorizzate:
27x - 12 = 3(9x - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Metodo 6 di 7: La formula ABC
Se nulla sembra funzionare e non puoi scomporre l`equazione, usa la formula abc. Prendi il seguente esempio:
1. Inserisci i valori corrispondenti, nella formula abc:
x = -b ± √(b - 4ac)
---------------------
2a
Otteniamo ora l`espressione:
x = -4 ± √(4 - 4•1•1) / 2
---------------------
2a
Otteniamo ora l`espressione:
2. Risolvi per x. Ora dovresti ottenere 2 valori per x. Questi sono:
x = -2 + √(3) oppure x = -2 - √(3)
x = -2 + √(3) oppure x = -2 - √(3)
3. Usa i valori di x per determinare i fattori. Compila i valori x ottenuti nelle due equazioni, come costanti. Questi sono i tuoi fattori. Se rispondiamo ai due h e K quindi scriviamo i due fattori come segue:
(x - h)(x - k)
In questo caso, la risposta finale è:
(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3))
In questo caso, la risposta finale è:
Metodo 7 di 7: Usa una calcolatrice
Se è consentito (o obbligatorio) utilizzare una calcolatrice grafica, questo rende molto più semplice il factoring, soprattutto durante esami ed esami. Le seguenti istruzioni sono per una calcolatrice grafica TI. Usiamo l`equazione dell`esempio:
1. Inserisci l`equazione nella calcolatrice. Utilizzerai il risolutore di equazioni, noto anche come schermata [Y = ].
2. Traccia l`equazione con la calcolatrice. Una volta che hai inserito l`equazione, premi [GRAFICO] - ora dovresti vedere una linea curva, una parabola come rappresentazione grafica della tua equazione (ed è una parabola, perché abbiamo a che fare con un polinomio).
3. Trova dove la parabola si interseca con l`asse x. Poiché un`equazione quadratica è tradizionalmente annotata come ax + bx + c = 0, questi sono i due valori x che rendono l`equazione uguale a zero:
(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
4. Inserisci i valori x che hai ottenuto, nelle due espressioni fattorizzate. Se prendiamo i due valori x h e K scrivilo come un termine, quindi l`espressione che usiamo è simile a questa:
(x - h)(x - k) = 0
Quindi i nostri due fattori diventano quindi:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
Quindi i nostri due fattori diventano quindi:
Consigli
- Se hai scomposto il polinomio con la formula abc e la tua risposta contiene radici, puoi convertire i valori x in frazioni per verificarli.
- Se un termine non ha coefficiente davanti ad esso, allora il coefficiente è uguale a 1, ad es. x = 1x.
- Se hai una calcolatrice TI-84, c`è un programma chiamato SOLVER che può risolvere un`equazione quadratica per te. Questo risolve anche polinomi di grado superiore.
- Dopo molta pratica alla fine riuscirai a risolvere i polinomi a memoria. Ma solo per essere sicuri, è meglio scriverli sempre.
- Se un termine non esiste, il coefficiente è uguale a zero. Quindi può essere utile riscrivere l`equazione. Per esempio. x + 6 = x + 0 x + 6.
Avvertenze
- Quando impari questo concetto a lezione di matematica, presta attenzione a ciò che spiega l`insegnante e non limitarti a usare il tuo metodo preferito. È possibile che venga richiesto di utilizzare un metodo specifico su un test, oppure le calcolatrici grafiche potrebbero non essere consentite.
Necessità
- Matita
- Carta
- Equazione quadratica (detta anche equazione quadratica)
- Calcolatrice grafica (opzionale)
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