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4x = 8 - 2 anni (4 volte)/4 = (8/4) - (2 anni/4) x = 2 - y 
Ora sai che: x = 2 - y. La seconda equazione, che non hai ancora modificato, è: 5x + 3x = 9. Nella seconda equazione, sostituisci x con `2 - ½y`: 5(2 - ½a) + 3a = 9. 
5(2 - ½a) + 3a = 9 10 – (5/2)a + 3a = 9 10 – (5/2)a + (6/2)a = 9 (Se non capisci questo passaggio, impara come aggiungere le frazioni. Questo è spesso, ma non sempre, necessario con questo metodo). 10 + y = 9 y = -1 y = -2 
Ora sai che: y = -2 Una delle equazioni originali è: 4x + 2 anni = 8. (Entrambe le equazioni possono essere utilizzate per questo passaggio). Collega -2 invece di y: 4x + 2(-2) = 8. 4x - 4 = 8 4x = 12 x = 3 
Se finisci con un`equazione senza variabili e che non è vera (ad esempio, 3 = 5), allora il problema ha nessuna soluzione. (Se hai rappresentato graficamente le equazioni, vedrai che sono parallele e non si intersecano mai). Se finisci con un`equazione senza variabili, ma quelle bene è vero (ad esempio, 3 = 3), allora il problema ha infinite soluzioni. Le due equazioni sono esattamente uguali tra loro. (Se disegni le due equazioni, vedrai che si sovrappongono esattamente). 
Supponiamo di avere il sistema di equazioni 3x - y = 3 e -x + 2y = 4. Modifichiamo la prima equazione in modo che la variabile y viene eliminato. (Puoi farlo anche per X fai e ottieni la stessa risposta). Il - y` della prima equazione dovrebbe essere eliminata con il+ 2 anni ` nella seconda equazione. Possiamo farlo entro - y moltiplicare per 2. Moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 2, come segue: 2(3x - y)=2(3), e quindi 6x - 2y = 6. Ora lo farà - 2 anni cadere contro il +2 anni nella seconda equazione. 
Le tue equazioni sono: 6x - 2y = 6 e -x + 2y = 4. Combina i lati sinistro: 6x - 2y - x + 2y = ? Combina i lati giusti: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4. 
Hai: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4. Raggruppa le variabili X e y insieme: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4. Semplificare: 5x = 10 Risolvi per x: (5x)/5 = 10/5, così che x = 2. 
Lo sai x = 2, e quella una delle tue equazioni originali 3x - y = 3 è. Inserisci 2, invece di x: 3(2) - y = 3. Risolvi per y nell`equazione: 6 - y = 3 6 - y + y = 3 + y, così 6 = 3 + y 3 = y 
Se la tua equazione combinata non ha variabili e non è vera (come 2 = 7), allora c`è nessuna soluzione che vale per entrambe le equazioni. (Se rappresenti entrambe le equazioni, vedrai che sono parallele e non si intersecano mai). Se la tua equazione combinata non ha variabili ed è vera (come 0 = 0), allora ci sono infinite soluzioni. Le due equazioni sono in realtà identiche. (Se li metti su un grafico, vedrai che si sovrappongono completamente). 
La prima equazione è: 2x + y = 5. Cambia questo in: y = -2x + 5. La seconda equazione è: -3x + 6y = 0. Cambia questo in 6y = 3x + 0, e semplificarey = ½x + 0. Entrambe le equazioni sono identiche, poi l`intera linea diventa un `intersezione`. Scrivere: infinite soluzioni. 
Se non hai la carta millimetrata, usa un righello per assicurarti che i numeri siano equidistanti. Se stai usando numeri grandi o decimali, potrebbe essere necessario ridimensionare il grafico. (Ad esempio 10, 20, 30 o 0.1, 0.2.0.3 invece di 1, 2, 3). 
Negli esempi sopra citati, una riga (y = -2x + 5) nell`asse y 5. L`altra riga (y = ½x + 0) passa per il punto zero 0. (Questi sono i punti (0,5) e (0,0) nel grafico). Contrassegna ciascuna delle linee con un colore diverso, se possibile. 
Nel nostro esempio, la regola y = -2x + 5 una pendenza di -2. A x = 1, la linea scende di 2 giùdal punto x = 0. Disegna il segmento di linea tra (0.5) e (1.3). La regola y = ½x + 0ha una pendenza di ½. A x = 1, la linea va ½ su dal punto x = 0. Disegna il segmento di linea tra (0,0) e (1,½). Se le linee hanno la stessa pendenza le linee non si intersecheranno mai, quindi non esiste una soluzione per il sistema di equazioni. Scrivere: nessuna soluzione. 
Se le linee si stanno muovendo l`una verso l`altra, continuerai a disegnare punti in quella direzione. Se le linee si allontanano l`una dall`altra, torna indietro e disegna punti nell`altra direzione, iniziando da x = -1. Se le linee non sono vicine l`una all`altra, salta avanti e traccia punti più distanti, ad esempio x = 10. 
Risolvere sistemi di equazioni con due variabili
Contenuto
In un "sistema di equazioni" ti viene chiesto di risolvere due o più equazioni contemporaneamente. Quando queste due contengono variabili diverse, come x e y, o a e b, può essere difficile a prima vista vedere come risolverle. Fortunatamente, una volta che sai cosa fare, hai solo bisogno di alcune abilità matematiche di base (e talvolta una certa conoscenza delle frazioni) per risolvere il problema. Se è necessario, o se sei uno studente visivo, impara anche a rappresentare graficamente le equazioni. Disegnare (tracciare) un grafico può essere utile per "vedere cosa sta succedendo" o per controllare il tuo lavoro, ma può anche essere più lento degli altri metodi e non funzionerà con tutti i sistemi di equazioni.
Passi
Metodo 1 di 3: Utilizzo del metodo di sostituzione
1. Sposta le variabili su lati diversi dell`equazione. Questo metodo di "sostituzione" inizia con la "risoluzione di x" (o qualsiasi altra variabile) in una delle equazioni. Ad esempio, abbiamo le seguenti equazioni: 4x + 2 anni = 8 e 5x + 3x = 9. Per prima cosa, diamo un`occhiata alla prima equazione. Riorganizza sottraendo 2y da ciascun lato e ottieni: 4x = 8 - 2 anni.
- Questo metodo usa spesso le frazioni in una fase successiva. Puoi anche utilizzare il metodo di eliminazione riportato di seguito, se preferisci non lavorare con le frazioni.
2. Dividi entrambi i lati dell`equazione per "risolvere per x". Una volta che hai il termine x (o qualsiasi variabile tu usi) su un lato dell`equazione, dividi entrambi i lati dell`equazione per isolare la variabile. Ad esempio:
3. Ricollegalo all`altra equazione. Assicurati di tornare al Altri confronto, non quello che hai già utilizzato. In quell`equazione, sostituisci la variabile che hai risolto in modo che rimanga solo una variabile. Ad esempio:
4. Risolvi per la variabile rimanente. Ora hai un`equazione con una sola variabile. Usa le comuni tecniche di algebra per risolvere quella variabile. Se le variabili si annullano a vicenda, procedere all`ultimo passaggio. Altrimenti, ti ritroverai con una risposta a una delle tue variabili:
5. Usa la risposta per risolvere l`altra variabile. Non commettere l`errore di finire il problema a metà. Dovrai reinserire la risposta che hai ottenuto in una delle equazioni originali in modo da poter risolvere l`altra variabile:
6. Sapere cosa fare quando entrambe le variabili si annullano a vicenda. Quando tu x = 3 anni + 2 o ottiene una risposta simile nell`altra equazione, quindi provi a ottenere un`equazione con una sola variabile. A volte invece ti ritrovi con un`equazione privo di variabili. Ricontrolla il tuo lavoro e assicurati di sostituire la prima equazione (riordinata) nella seconda equazione, non nella prima equazione. Quando sei sicuro di non aver commesso errori, otterrai uno dei seguenti risultati:
Metodo 2 di 3: Utilizzo del metodo di eliminazione
1. Determina la variabile da eliminare. A volte le equazioni si "eliminano" a vicenda in una variabile non appena le si sommano. Ad esempio, quando esegui le equazioni 3x + 2 anni = 11 e 5x - 2 anni = 13 combina, `+2y` e `-2y` si elimineranno a vicenda, con tutto `ys vengono rimossi dall`equazione. Guarda le equazioni nel tuo problema per scoprire se una qualsiasi delle variabili verrà eliminata in questo modo. Se nessuna delle variabili viene eliminata, continua a leggere il passaggio successivo per i consigli.
2. Moltiplica un`equazione per eliminare una variabile. (Salta questo passaggio se le variabili si sono già eliminate a vicenda). Se nessuna delle variabili nelle equazioni viene eliminata da sola, è necessario modificare una delle equazioni in modo che lo facciano. Questo è più facile da capire con un esempio:
3. Combina le due equazioni. Per combinare due equazioni, somma i lati sinistro e destro insieme. Se hai scritto l`equazione correttamente, una delle variabili dovrebbe annullarsi rispetto all`altra. Ecco un esempio che utilizza le stesse equazioni dell`ultimo passaggio:
4. Risolvi per l`ultima variabile. Semplifica l`equazione combinata, quindi usa l`algebra di base per risolvere l`ultima variabile. Se non sono rimaste variabili dopo la semplificazione, passare all`ultimo passaggio di questa sezione. Altrimenti dovresti ottenere una risposta semplice a una delle tue variabili. Ad esempio:
5. Risolvi per le altre variabili. Hai trovato una variabile, ma non hai ancora finito. Sostituisci la tua risposta in una delle equazioni originali in modo da poter risolvere l`altra variabile. Ad esempio:
6. Sapere cosa fare se entrambe le variabili si annullano a vicenda. A volte combinando due equazioni si ottiene un`equazione che non ha senso o non ti aiuta a risolvere il problema. Ricontrolla il tuo lavoro dall`inizio, ma se non hai commesso un errore, scrivi una delle seguenti risposte:
Metodo 3 di 3: Rappresentazione grafica delle equazioni
1. Utilizzare questo metodo solo quando specificato. A meno che tu non stia utilizzando un computer o una calcolatrice grafica, molti sistemi di equazioni possono essere risolti solo approssimativamente utilizzando questo metodo. Il tuo insegnante o libro di testo di matematica potrebbe chiederti di usare questo metodo, quindi probabilmente hai familiarità con le equazioni grafiche come le linee. Puoi anche usare questo metodo per verificare se le tue risposte da uno degli altri metodi sono corrette.
- L`idea di base è di rappresentare graficamente entrambe le equazioni e di determinare il punto in cui si intersecano. I valori xey a questo punto producono il valore di x e il valore di y nel sistema di equazioni.
2. Risolvi entrambe le equazioni per y. Mantenendo separate le due equazioni, usa l`algebra per convertire ciascuna equazione nella forma `y = __x + __`. Ad esempio:
3. Disegna un sistema di coordinate. Su un pezzo di carta millimetrata, disegna un "asse y" verticale e un "asse x" orizzontale. Inizia dal punto in cui le linee si intersecano ed etichetta i numeri 1, 2, 3, 4, ecc. in alto lungo l`asse y e di nuovo a destra lungo l`asse x. Etichetta i numeri -1, -2, ecc. lungo l`asse y e a sinistra lungo l`asse x.
4. Disegna l`intercetta y per ogni linea. Una volta che hai un`equazione nel modulo y = __x + __ puoi iniziare a rappresentarlo graficamente, disegnando un punto in cui la linea intercetta l`asse y. Questo è sempre a un valore y, uguale all`ultimo numero in questa equazione.
5. Usa la pendenza per continuare a disegnare le linee. Nella forma y = __x + __, è il numero per x de pendenza fuori linea. Ogni volta che x viene aumentato di uno, il valore di y aumenterà del valore della pendenza. Usa queste informazioni per trovare il punto sul grafico per ogni linea, quando x = 1. (In alternativa, sostituisci x = 1 per qualsiasi equazione e risolvi per y).
6. Continua a tracciare le linee finché non si intersecano. Fermati e guarda il tuo grafico. Se le linee si sono già incrociate, vai al passaggio successivo. Altrimenti, prendi una decisione in base a ciò che fanno le linee:
7. Trova la risposta all`intersezione delle linee. Una volta che le due linee si intersecano, i valori xey in quel punto sono la soluzione al problema. Se sei fortunato, la risposta sarà un numero intero. Ad esempio, nei nostri esempi, le due linee si intersecano (2.1) così è la tua risposta x = 2 e y = 1. In alcuni sistemi di equazioni, le linee si intersecheranno a un valore compreso tra due numeri interi e, a meno che il tuo grafico non sia estremamente accurato, sarà difficile dire dove si trovi. Se questo è il caso, puoi dare una risposta del tipo: `x è compreso tra 1 e 2`. Puoi anche utilizzare il metodo di sostituzione o il metodo di eliminazione per trovare la risposta esatta.
Consigli
- Puoi controllare il tuo lavoro inserendo le risposte nelle equazioni originali. Se le equazioni sono vere (ad esempio, 3 = 3), la tua risposta è corretta.
- Nel metodo di eliminazione, a volte devi moltiplicare un`equazione per un numero negativo per eliminare una variabile.
Avvertenze
- Questi metodi non possono essere utilizzati quando si ha a che fare con un numero di potenza, come x. Per ulteriori informazioni sulle equazioni di questo tipo è necessaria una guida alla fattorizzazione dei quadrati con due variabili.
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