Calcolo dell'Intersezione di Due Linee (con Immagini)

Contenuto

Passi
- Metodo 1 di 2: Determinazione dell`intersezione tra due rette
- Metodo 2 di 2: Problemi con le equazioni quadratiche
Consigli

Quando le linee rette si intersecano su un grafico bidimensionale, lo fanno in un solo punto, indicato dalle coordinate x e y. Poiché entrambe le linee passano per quel punto, sai che le coordinate xey devono soddisfare entrambe le equazioni. Con alcune tecniche in più, puoi trovare le intersezioni di parabole e altre curve quadratiche, usando la stessa logica.

Passi

Metodo 1 di 2: Determinazione dell`intersezione tra due rette

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 1

1. Scrivi l`equazione di una retta qualsiasi con y a sinistra. Se necessario, modificare l`equazione in modo che y sia isolato su un lato del segno di uguale. Se l`equazione è scritta con f(x) o g(x) invece di y, separa quel termine. Ricorda che puoi eliminare i termini eseguendo la stessa operazione su entrambi i lati.

Le equazioni sono sconosciute, quindi determinalo sulla base delle informazioni fornite.
Esempio: Supponiamo di avere due righe $y = X + 3$ $y=x+3$ e $y - 12 = - 2 X$ $y-12=-2x$ . Per separare y nella seconda equazione, aggiungi 12 a ciascun lato: $y = 12 - 2 X$ $y=12-2x$

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 2

2. Assicurati che i lati giusti delle equazioni siano uguali. Cerchiamo un punto in cui le due rette abbiano gli stessi valori xey; questo è il punto in cui le linee si intersecano. Entrambe le equazioni hanno solo una y a sinistra, quindi sappiamo che i lati destri sono uguali tra loro. Scrivi una nuova equazione che lo mostri.

Esempio: lo sappiamo

y = X + 3

$y=x+3$ e

y = 12 - 2 X

$y=12-2x$ , e quindi $X + 3 = 12 - 2 X$ $x+3=12-2x$ .

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3. Risolvi x nell`equazione. La nuova equazione ha una sola variabile, x. Risolvilo con l`algebra, eseguendo la stessa operazione su entrambi i lati. Trova i termini x di ciascun lato dell`equazione e mettili nella forma x = __ (se non è possibile, continua a leggere alla fine di questa sezione).

Esempio:

X + 3 = 12 - 2 X

$x+3=12-2x$

Telefono

2 X

$2x$ su ciascun lato:

3 X + 3 = 12

$3x+3=12$

Sottrarre 3 da ciascun lato:

3 X = 9

$3x=9$

Dividi ogni lato per 3:

X = 3

$x=3$ .

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4. Usa questo valore x per risolvere y. Scegli l`equazione di ogni riga. Sostituisci ogni x nell`equazione con la risposta che hai trovato. Ora risolvi per y.

Esempio:

X = 3

$x=3$ e

y = X + 3

$y=x+3$

y = 3 + 3

$y=3+3$

y = 6

$y=6$

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5. Controlla il tuo lavoro. È saggio inserire il tuo valore x nell`altra equazione per vedere se ottieni lo stesso risultato. Se ottieni un`altra soluzione per y, torna indietro e controlla il tuo lavoro per errori.

Esempio:

X = 3

$x=3$ e

y = 12 - 2 X

$y=12-2x$

y = 12 - 2 (3)

$y=12-2(3)$

y = 12 - 6

$y=12-6$

$y = 6$ $y=6$

Questa è la stessa risposta ottenuta in precedenza. Non abbiamo commesso errori.

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6. Annota le coordinate xey dell`intersezione. Ora hai risolto il valore x e il valore y dell`intersezione delle due rette. Scrivi il punto come coordinata, con il valore x come primo numero.

Esempio:

X = 3

$x=3$ e

y = 6

$y=6$

Le due rette si intersecano nel punto (3.6).

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7. Elabora risultati insoliti. Alcune equazioni rendono impossibile la risoluzione di x. Questo non significa necessariamente che hai commesso un errore. Ci sono due modi in cui una coppia di linee può portare a una soluzione speciale:

Se le due rette sono parallele non si intersecheranno . I termini x possono essere eliminati e la tua equazione può essere semplificata in un`equazione non valida (come

0 = 1

$0=1$ ). Nota qui`le linee non si intersecano o non una soluzione valida` se rispondi.

Se le due equazioni descrivono la stessa linea, si "intersecano" ovunque. Puoi eliminare i termini x e semplificare la tua equazione in un`equazione valida (come

3 = 3

$3=3$ ). scrivi `le due linee sono uguali` come risposta.

Metodo 2 di 2: Problemi con le equazioni quadratiche

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 8

1. Impara a riconoscere le equazioni quadratiche. In un`equazione quadratica, ci sono una o più variabili in forma quadratica (

X 2

$x^{2}$ o

y 2

$si^{2}$ ), e non ci sono poteri superiori. Le rette rappresentate dalle equazioni sono curve, e possono quindi intersecare una retta in 0, 1 o 2 punti. In questa parte imparerai come trovare le intersezioni di un tale problema.

Calcola le equazioni tra parentesi per vedere se sono quadratiche. Ad esempio, $y = (X + 3) (X)$ $y=(x+3)(x)$ è quadratico, perché puoi metterlo fuori dalle parentesi se $y = X 2 + 3 X .$ $y=x^{2}+3x$
Avere le equazioni di un cerchio o di un`ellisse entrambi un $X 2$ $x^{2}$ come un $y 2$ $si^{2}$ termine. Se trovi difficili questi casi speciali, continua a leggere su Suggerimenti alla fine di questo articolo.

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2. Scrivi le equazioni in termini di y. Se necessario, riscrivi ogni equazione in modo che y sia su un lato.

Esempio: Trova l`intersezione di

X 2 + 2 X - y = - 1

$x^{2}+2x-y=-1$ e

y = X + 7

$y=x+7$ .

Riscrivi l`equazione quadratica in termini di y:

$y = X 2 + 2 X + 1$ $y=x^{2}+2x+1$ e $y = X + 7$ $y=x+7$ .

Questo esempio ha un`equazione quadratica e un`equazione lineare. I problemi con due equazioni quadratiche vengono risolti allo stesso modo.

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 10

3. Combina le due equazioni per eliminare la y. Se hai reso entrambe le equazioni uguali a y, allora sai che le due equazioni senza y sono uguali tra loro.

Esempio:

y = X 2 + 2 X + 1

$y=x^{2}+2x+1$ e

y = X + 7

$y=x+7$

$X 2 + 2 X + 1 = X + 7$ $x^{2}+2x+1=x+7$

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 11

4. Riordina la nuova equazione in modo che un lato sia uguale a zero. Usa metodi matematici standard per ottenere tutti i termini su un lato dell`equazione. Questa è la configurazione richiesta dei problemi per poterli risolvere nel passaggio successivo.

Esempio:

X 2 + 2 X + 1 = X + 7

$x^{2}+2x+1=x+7$

Sottrarre x da ciascun lato:

X 2 + X + 1 = 7

$x^{2}+x+1=7$

Sottrarre 7 da ciascun lato:

$X 2 + X - 6 = 0$ $x^{2}+x-6=0$

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 12

5.Risolvi l`equazione quadratica. Se hai un lato uguale a zero, ci sono tre modi per risolvere l`equazione quadratica. Ognuno preferisce un metodo diverso. Puoi leggere di più sulla formula quadratica di `dividi la piazza`, oppure puoi seguire questo esempio ulteriormente per questo fattorizzare metodo:

Esempio:

X 2 + X - 6 = 0

$x^{2}+x-6=0$

Lo scopo del factoring è determinare i due fattori moltiplicati insieme per produrre questa equazione. A partire dal primo termine, lo sappiamo

X 2

$x^{2}$ può essere diviso in x e x. Scrivi (x )(x ) = 0 per mostrarlo.

L`ultimo termine è -6. Annota ogni coppia di fattori che si è moltiplicata per dare -6 come prodotto:

- 6 * 1

$-6*1$ ,

- 3 * 2

$-3*2$ ,

- 2 * 3

$-2*3$ , e

- 1 * 6

$-1*6$ .

Il termine medio è x (che puoi scrivere come 1x). Somma ogni coppia di fattori per ottenere 1 come risposta. La giusta coppia di fattori è

- 2 * 3

$-2*3$ , perché

- 2 + 3 = 1

$-2+3=1$ .

Riempi le lacune nella tua risposta con questi pochi fattori: $(X - 2) (X + 3) = 0$ $(x-2)(x+3)=0$ .

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 13

6. Tieni gli occhi aperti per due soluzioni per x. Se lavori troppo velocemente, potresti trovare una risposta al problema senza renderti conto che ce n`è un`altra. Ecco come trovare i due valori x per le rette che si intersecano in due punti:

Esempio (fattore): finiamo con l`equazione

(X - 2) (X + 3) = 0

$(x-2)(x+3)=0$ . Se entrambi i fattori tra parentesi sono uguali a 0, l`equazione è vera. L`unica soluzione è

X - 2 = 0

$x-2=0$ → $X = 2$ $x=2$ . L`altra soluzione è

X + 3 = 0

$x+3=0$ → $X = - 3$ $x=-3$ .

Esempio (equazione quadratica o quadrato divisorio): se si utilizza uno di questi metodi per risolvere l`equazione, apparirà una radice quadrata. Ad esempio, la nostra equazione diventa

X = (- 1 + \sqrt{25}) / 2

$x=(-1+{sqrt{25}})/2$ . Ricorda che puoi semplificare una radice quadrata in due diverse soluzioni:

\sqrt{25} = 5 * 5

${sqrt{25}}=5*5$ , e

\sqrt{25} = (- 5) * (- 5)

${sqrt{25}}=(-5)*(-5)$ . Scrivi due equazioni, una per ogni possibilità, e risolvi x per ciascuna di esse.

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 14

7. Risolvi i problemi con una o zero soluzioni. Due linee che si toccano a malapena hanno un`intersezione e due linee che non si toccano mai hanno zero. Puoi riconoscerli nei seguenti modi:

Una soluzione: i problemi possono essere divisi in due fattori identici ((x-1)(x-1) = 0). Immessa nella formula quadratica, la radice quadrata diventa

\sqrt{0}

${sqrt{0}}$ . Hai solo bisogno di risolvere un`equazione.

Non esiste una vera soluzione: non ci sono fattori che soddisfino i requisiti (elencare a medio termine). Inserito nella formula quadratica si ottiene un numero negativo sotto il radicale (es

\sqrt{- 2}

${sqrt{-2}}$ ). Scrivi "nessuna soluzione" come risposta.

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 15

8. Ricollega i valori x all`equazione originale. Una volta che hai il valore x dell`intersezione, rimettilo in una delle equazioni con cui hai iniziato. Risolvi per y per trovare il valore y. Se è presente un secondo valore x, ripetere anche per questo valore.

Esempio: Abbiamo trovato due soluzioni,

X = 2

$x=2$ e

X = - 3

$x=-3$ . Una delle nostre linee ha l`equazione

y = X + 7

$y=x+7$ . sostituire

y = 2 + 7

$y=2+7$ e

y = - 3 + 7

$y=-3+7$ , e risolvi ogni equazione in modo da ottenere

y = 9

$y=9$ e

y = 4

$y=4$ se ottieni una risposta.

Immagine titolata Trova algebricamente l`intersezione di due linee Passaggio 16

9. Scrivi la risposta come coordinate. Ora scrivi la risposta come coordinate, con il valore x e il valore y dell`intersezione. Se hai due risposte, assicurati di abbinare il valore x corretto con ogni valore y.

Esempio: Quando noi

X = 2

$x=2$ input, otteniamo

y = 9

$y=9$ , in modo che un punto di intersezione sia uguale a (2, 9). Facciamo lo stesso per la seconda soluzione e questo ci dà il punto di intersezione (-3, 4) in poi.

Consigli

Le equazioni per un cerchio o un`ellisse hanno a $X 2$ $x^{2}$ termine e un $y 2$ $si^{2}$ termine. Per trovare l`intersezione di una circonferenza e di una retta, risolvi x all`interno dell`equazione lineare. Sostituisci la soluzione per x nell`equazione del cerchio e l`equazione quadratica è diventata molto più semplice. Questi problemi possono avere 0, 1 o 2 soluzioni, come già indicato nei metodi precedenti.
Un cerchio e una parabola (o qualsiasi altra equazione quadratica) possono avere 0, 1, 2, 3 o 4 soluzioni. Trova la variabile che è un quadrato in entrambe le equazioni: diciamo che questa è x. sciolto $X 2$ $x^{2}$ acceso e sostituire la risposta per $X 2$ $x^{2}$ nell`altra equazione. Risolvi y per trovare le soluzioni 0, 1 o 2. Ricollega ogni soluzione all`equazione quadratica originale e risolvi per x. Ognuno di questi può avere 0, 1 o 2 soluzioni.