Come determinare se due linee sono parallele

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Le linee parallele sono due linee su un piano che non si intersecheranno mai (il che significa che andranno avanti per sempre senza mai toccarsi). Una caratteristica importante delle rette parallele è che hanno pendenze identiche. La pendenza di una linea è definita come la salita (cambiamento delle coordinate y) sulla discesa (cambiamento delle coordinate x) di una linea, in altre parole quanto è ripida la linea. Le linee parallele sono spesso rappresentate da due linee verticali (ll). Ad esempio, AB11CD indica che la linea AB è parallela a CD.

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Metodo 1 di 3: confronto della pendenza di ciascuna linea

Immagine titolata Scopri se due linee sono parallele Passaggio 1

1. Trova la formula per la pendenza. La pendenza (pendenza) di una linea è definita da (Y₂ - Y₁)/(X₂ - X₁) dove X e Y sono le coordinate orizzontali e verticali dei punti sulla retta. Devi determinare due punti sulla linea per calcolare questa formula. Il punto più vicino al fondo della linea è (X₁, Y₁) e il punto più in alto della linea, al di sopra del primo punto, è (X₂, Y₂).

Questa formula può essere riformulata come l`aumento sulla distanza. È il cambiamento verticale rispetto al cambiamento orizzontale, o la pendenza della linea.
Se una linea punta a destra e in alto, avrà una pendenza positiva.
Se la linea punta a destra e in basso, avrà una pendenza negativa.

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2. Identificare le coordinate X e Y di due punti su ciascuna linea. Un punto su una retta è dato dalla sua coordinata (X, Y) dove X è la posizione sull`asse orizzontale e Y è la posizione sull`asse verticale. Per calcolare la pendenza, è necessario determinare due punti su ciascuna delle linee in questione.

I punti sono facili da determinare se hai tracciato una linea su carta millimetrata.

Per determinare un punto, traccia una linea tratteggiata dall`asse orizzontale fino a quando non interseca la linea. La posizione in cui hai iniziato la linea sull`asse orizzontale è la coordinata x, mentre la coordinata y è dove la linea tratteggiata interseca la linea sull`asse verticale.

Ad esempio: riga l ha i punti (1, 5) e (-2, 4) mentre linea R ha i punti (3, 3) e (1, -4).

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3. Elabora i punti per ciascuna linea nella formula della pendenza. Per calcolare la pendenza, inserisci i numeri, sottrai e dividi. Assicurati di inserire le coordinate nel valore xey corretto nella formula.

Alla pendenza della linea l calcolare: pendenza = (5 - (-4))/(1 - (-2))

Sottrai: pendenza = 9/3

Dividi: pendenza = 3

La pendenza della linea R = (3 - (-4))/(3 - 1) = 7/2

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4. Confronta le pendenze di ciascuna linea. Ricorda che due rette sono parallele solo se hanno la stessa pendenza. Le linee possono apparire parallele sulla carta ed essere anche molto vicine alla parallela, ma se le loro pendenze non sono esattamente uguali, non sono parallele.

In questo esempio, 3 non è uguale a 7/2, quindi queste due rette non sono parallele.

Metodo 2 di 3: Utilizzo della formula della pendenza e dell`intersezione

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1. Trova la formula per la pendenza e l`intersezione di una retta. La formula della pendenza, l`equazione di una retta. è y = mx + b, dove m è la pendenza, b è l`intersezione con l`asse y e xey sono variabili che rappresentano le coordinate sulla linea - generalmente le vedi come xey nell`equazione. In questa forma, puoi facilmente determinare la pendenza della linea come la variabile `m`.

Un esempio: riscrivi 4y - 12x = 20 e y = 3x -1. L`equazione 4y - 12x = 20 deve essere riscritta con l`algebra mentre y = 3x -1 ha già la forma della formula della pendenza e non ha bisogno di essere riscritta.

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2. Riscrivi la formula della retta come formula della pendenza. Spesso la formula della linea che ottieni non avrà la forma di un piano inclinato. Ci vuole solo un po` di matematica e di riorganizzazione delle variabili per inserirlo nella forma della formula della pendenza.

Ad esempio: riscrivi la linea 4y-12x=20 come formula di pendenza.

Aggiungi 12x a entrambi i lati dell`equazione: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x

Dividi ogni lato per 4 per isolare y: 4y/4 = 12x/4 +20/4

Formula pendenza: y = 3x + 5

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3. Confronta le pendenze di ciascuna linea. Ricorda che se due rette sono parallele tra loro, avranno esattamente la stessa pendenza. Usando l`equazione y = mx + b, dove m è la pendenza della retta, puoi determinare e confrontare le pendenze di due rette.

Nel nostro esempio, la prima linea ha un`equazione di y = 3x + 5, quindi la pendenza è 3. L`altra linea ha un`equazione di y = 3x - 1 che ha anche una pendenza di 3. Poiché le pendenze sono identiche, queste due linee sono parallele.

Nota che se queste equazioni hanno la stessa intersezione con l`asse y, sarebbero la stessa linea anziché parallela.

Metodo 3 di 3: Determinazione di una retta parallela con l`equazione punto-pendenza

Immagine titolata Scopri se due linee sono parallele Passaggio 8

1. Definire l`equazione punto-pendenza. Con l`equazione punto-pendenza puoi scrivere l`equazione di una retta se conosci la pendenza e hai una coordinata (x, y). Utilizzare questa formula se si desidera definire una seconda retta parallela su una retta già data con una certa pendenza. La formula è y – y₁= m(x – x₁) dove m è la pendenza della retta, x₁ la coordinata x di un dato punto sulla retta e y₁ la coordinata y di quel punto. Come nella formula della pendenza, x e y sono variabili che rappresentano le coordinate sulla linea - generalmente rimarranno come x e y nell`equazione.

I seguenti passaggi risolvono questo esempio: Scrivi l`equazione di una retta parallela alla retta y = -4x + 3 passante per il punto (1, -2).

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2. Trova la pendenza della prima linea. Quando scrivi l`equazione di una nuova retta, devi prima determinare la pendenza della retta alla quale la tua retta deve essere parallela. Assicurati che l`equazione della linea originale sia una formula di pendenza in modo da conoscere immediatamente la pendenza (m).

La retta che vogliamo rendere parallela è y = -4x + 3. In questa equazione -4 rappresenta la variabile m e quindi la pendenza della linea.

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3. Identifica un punto sulla nuova linea. Questa equazione funziona solo se hai una coordinata che attraversa la nuova linea. Assicurati di non scegliere una coordinata che si trova sulla linea originale. Se le tue equazioni finali hanno la stessa intercetta y, non sono parallele, ma la stessa linea.

Nel nostro esempio utilizziamo la coordinata (1, -2).

Immagine titolata Scopri se due linee sono parallele Passaggio 11

4. Scrivi l`equazione della nuova retta nella forma del punto-pendenza. Ricorda che la formula è: y – y₁= m(x – x₁). Inserisci la pendenza e le coordinate del tuo punto per rendere l`equazione della tua nuova linea parallela alla prima.

Usando il nostro esempio con pendenza (m) -4 e (x, y) coordinate (1, -2) questo diventa: y – (-2) = -4(x – 1)

Immagine titolata Scopri se due linee sono parallele Passaggio 12

5. Semplifica l`equazione. Dopo aver inserito i numeri, l`equazione può essere semplificata con la formula della pendenza più comune. La linea di questa equazione, se disegnata in un sistema di coordinate, è parallela all`equazione data.

Ad esempio: y - (-2) = -4(x - 1)

Due negativi fanno un positivo: y + 2 = -4(x -1)

Usa la proprietà distributiva per calcolare -4(x -1): y + 2 = -4x + 4.

Sottrai -2 da entrambi i lati: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2

L`equazione semplificata: y = -4x + 2