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Nel nostro esempio, compileremo 100, il valore di N, nell`equazione. (N(N + 1))/2 diventa (100 (100 + 1))/2. 
Risolviamo questo esempio. (100(100 + 1))/2 = (100(101))/2 = (10100)/2 = 5050. la somma di tutti gli interi da 1 a 100 è 5050. 
In generale si può dire che per ogni numero N, la somma dei numeri da 1 a N è uguale a (N/2)(N + 1). La forma semplificata di questa equazione è (N(N + 1))/2, l`equazione della somma degli interi. 
Diciamo che ha chiesto il compreso somma per determinare gli interi tra N1 = 100 e N2 = 75. In altre parole, dobbiamo trovare la somma della sequenza 75 + 76 + 77 ... + 99+100. Per fare ciò, prendiamo la somma degli interi da 1 a N1, e sottrai quella somma dagli interi da 1 a N2 - 1 (ricorda che aggiungiamo inclusivo, quindi sottraiamo 1 da N2), e risolverlo in questo modo: (N1(N1 + 1))/2 - ((N2-1)((N2-1) + 1))/2 = (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 = 5050 - (74(75))/2 = 5050 - 5550/2 = 5050 – 2775 = 2275. La somma inclusiva degli interi compresi tra 75 e 100 è 2275. andiamo ora esclusivo inizia a contare. L`equazione rimane la stessa, tranne che in questo caso si sottrae 1 da N1 invece di N2: ((N1-1)((N1-1) + 1))/2 - (N2(N2 + 1))/2 = (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 = (99(100))/2 - (75(76))/2 = 9900/2 – 5700/2 = 4950 – 2850 = 2100. La somma esclusiva degli interi compresi tra 75 e 100 è 2100. 
Tuttavia, se aggiungiamo in modo inclusivo, dobbiamo utilizzare la somma di 1-74 anziché la somma di 1-75 per assicurarci che 75 sia incluso nella somma finale. Allo stesso modo, in aggiunta, utilizziamo la somma di 1-99, anziché la somma di 1-100, per assicurarci che 100 non sia incluso nella somma. Possiamo usare la somma di 1-75, perché sottraendo questa somma dalla somma di 1-99 si esclude il numero 75 dalla nostra somma finale.
Sommando i numeri da 1 a n
Contenuto
Gli interi sono interi senza frazioni o decimali. Se un problema di matematica richiede di sommare un numero di interi da 1 a un dato valore N, non è necessario sommare ogni valore manualmente. Invece, per risparmiare tempo e fatica, usa l`equazione (N(N + 1)) / 2, dove N rappresenta il numero più alto della serie.
Passi
1. Definisci il numero intero più grande come N. Quando si aggiungono numeri interi da 1 a un dato numero n, devi definire N stesso come un intero positivo. N è un numero intero e quindi non può essere un decimale o una frazione. Anche N non deve essere negativo.
- Ad esempio, supponiamo di voler aggiungere tutti gli interi da 1 a 100. In questo caso, 100 è il valore di N, perché questo è l`ultimo numero della nostra serie, o, in altre parole, il numero più grande dell`addizione.
2. Moltiplica N(N + 1) e dividi per 2. Una volta definito il valore di N, applicare questo valore all`equazione (N(N + 1))/2. Questa equazione trova la somma di tutti gli interi compresi tra 1 e N.
3. Calcola la risposta. Il valore finale di questa equazione è la somma di tutti i numeri compresi tra 1 e N.
4. Comprendere come viene derivata l`equazione (N(N + 1))/2. Dai un`altra occhiata al problema di esempio. Dividi questa sequenza 1 + 2 + 3 + 4... + 99 + 100 in due gruppi -- da 1 a 50 e uno da 51 a 100. Se aggiungi il primo numero del primo gruppo (1) all`ultimo numero del secondo gruppo (100), ottieni 101. Ottieni la stessa risposta (101) a 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 e così via. Se aggiungiamo ogni numero nel primo gruppo al numero corrispondente nel secondo gruppo, si ottengono 50 coppie di numeri con la stessa somma: 101. Quindi, 50 x 101 = 5050, la somma degli interi da 1 a 100. Nota che 50 è la metà di 100 e che 101 è 100 + 1. In effetti, questa osservazione si applica alla somma di qualsiasi intero positivo: la somma dei componenti può essere divisa in due gruppi e i numeri in questi gruppi possono essere assegnati tra loro in modo tale che ogni coppia abbia la stessa somma. Nota che una sequenza dispari di numeri interi lascia un numero - questo non influisce sulla risposta finale.
Metodo 1 di 1: Parte seconda: utilizzare la somma di 1 in N per trovare la somma di due numeri interi
1. Decidi se aggiungere inclusivo o esclusivo. Spesso lo scopo non è sommare un intervallo di interi da 1 a un dato numero, ma ti verrà chiesto di trovare la somma di una serie di interi tra due interi N1 e n2, dove n1 > n2 ed entrambi > essere 1. Il processo per trovare questa somma è relativamente semplice, ma prima di iniziare, dobbiamo decidere se la somma è inclusiva o esclusiva, in altre parole, se la N1 e n2 include o solo i numeri interi in mezzo, perché la procedura è leggermente diversa in questi casi.
2. Per determinare la somma degli interi tra due numeri N1 e n2 determiniamo prima la somma di ciascun valore di N separatamente e la sottraiamo. In generale, devi solo sottrarre la somma del valore N più piccolo dalla somma del valore N più grande per trovare la risposta. tuttavia, come accennato in precedenza, è importante sapere se questa aggiunta è inclusiva o esclusiva. L`addizione inclusiva richiede di sottrarre 1 dal valore di N2 prima di inserirlo nell`equazione, mentre l`enumerazione esclusiva richiede di sottrarre 1 dal valore di N1.
3. Comprendi perché questo processo funziona. Considera la somma degli interi da 1 a 100 come 1 + 2 + 3... + 98 + 99 + 100 e la somma degli interi da 1 a 75 come 1 + 2 + 3 ... + 73+74+75. La somma inclusiva degli interi da 75 a 100 significa 75 + 76 + 77 ... + 99+100. La somma di 1-75 e 1-100 è la stessa finché uno con 75 --- a quel punto la somma di 1-75 `si ferma` e la somma di 1 - 100 continua, con ... 75+76+77 ... + 99+100. Quindi sottraendo la somma degli interi da 1 a 75 dalla somma degli interi da 1 a 100 si separa la somma degli interi da 75 a 100.
Consigli
- Il risultato è sempre un numero intero, perché n o n+1 è pari e può quindi essere diviso per 2.
- In breve: SUM(1 to n) = n(n+1)/2
- SUM(a to b)= SUM(1 to b) - SUM(1 to a-1).
Avvertenze
- Sebbene le generalizzazioni ai numeri negativi non siano molto difficili, questa spiegazione è limitata a tutti gli interi positivi N, dove N è almeno 1.
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