Capire l'Analisi (con Immagini)

Contenuto

Passi
Consigli

L`analisi (detta anche calcolo) è una branca della matematica incentrata su limiti, funzioni, derivate, integrali e serie infinite. Questo argomento copre gran parte della matematica e sta alla base di molte delle formule e delle equazioni utilizzate in fisica e meccanica. Probabilmente avrai bisogno di diversi anni di matematica al liceo per comprendere correttamente l`analisi, ma questo articolo ti consentirà di iniziare a riconoscere i concetti chiave, oltre a una migliore comprensione della teoria.

Passi

Parte 1 di 3: Le basi dell`analisi

Immagine titolata Understand Calculus Step 1

1. L`analisi è lo studio di come cambiano le cose. L`analisi è una branca della matematica che esamina numeri e grafici, solitamente presi da dati del mondo reale, e spiega come cambiano. Anche se questo può non sembrare molto utile all`inizio, l`analisi è uno dei rami più comunemente usati della matematica. Immagina di avere gli strumenti che possono dirti quanto velocemente sta crescendo la tua attività in un dato momento, o per tracciare la rotta di un`astronave e quanto velocemente viene consumato il carburante. L`analisi è uno strumento importante in ingegneria, economia, statistica, chimica e fisica e ha contribuito a molte invenzioni e scoperte.

Immagine titolata Understand Calculus Step 2

2. Le funzioni sono relazioni tra due numeri e vengono utilizzate per mappare le relazioni. Sono regole per la relazione tra i numeri e i matematici le usano per creare grafici. In una funzione, ogni input ha esattamente un risultato. Ad esempio: in

y = 2 X + 4,

$y=2x+4,$ restituisce qualsiasi valore di

X

$X$ un nuovo valore per

y .

$y$ Nel caso in cui

X = 2,

$x=2,$ allora è

y = 8.

$y=8$ Nel caso in cui

X = 10,

$x=10,$ , poi

y = 24.

$y=24$ L`analisi studia sempre le funzioni e il modo in cui cambiano, utilizzando queste funzioni per mappare le relazioni.

Le funzioni sono spesso scritte come

F (X) = X + 3.

$f(x)=x+3$ Ciò significa che la funzione

F (X)

$f(x)$ aggiungi sempre 3 al numero che hai per

X

$X$ compilare. Se inserisci 2, scrivi

F (2) = (2) + 3,

$f(2)=(2)+3,$ o

F (2) = 5.

$f(2)=5$

Le funzioni possono anche visualizzare movimenti complessi. La NASA, ad esempio, ha una funzione per descrivere la velocità di un razzo, in base al consumo di carburante, alla resistenza al vento e al peso del razzo.

Immagine titolata Understand Calculus Step 3

3. Pensa al concetto di infinito. L`infinito è la ripetizione continua di un processo. Non è un luogo specifico (non puoi andare all`infinito), ma piuttosto il comportamento di un numero o di un`equazione, se fatto per sempre. Questo è importante per studiare il cambiamento: potresti voler sapere a che velocità si sta muovendo la tua auto in un dato momento, ma è quella la velocità con cui si muove la tua auto durante il secondo attuale?? millisecondo? Nanosecondo? Puoi trovare porzioni di tempo infinitamente più piccole per essere ancora più precisi, ed è allora che l`analisi entra in gioco.

Immagine titolata Understand Calculus Step 4

4. Comprendere il concetto di limite. Un limite ti dice cosa succede quando qualcosa si avvicina all`infinito. Prendi il numero 1 e dividilo per 2. Continua a dividere per 2, ancora e ancora. 1 diventa ½ e poi 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ecc. Ogni volta che il numero diventa sempre più piccolo, "più vicino" a zero. Ma dove si ferma? Quante volte devi dividere 1 per 2 per ottenere zero?? Invece di rispondere a questa domanda, in analisi proponete a limite In questo caso, il limite è.

I limiti sono più facili da visualizzare su un grafico, ad esempio ci sono punti che sono vicini al contatto con un grafico, ma mai del tutto?

I limiti possono essere numerici, infiniti o addirittura inesistenti. Ad esempio, con la sequenza di addizione 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... e questo va avanti indefinitamente, allora il numero finale diventa infinitamente grande. Il limite allora diventa infinito.

Immagine titolata Understand Calculus Step 5

5. Passa attraverso i concetti matematici essenziali dell`algebra, della trigonometria e delle basi della matematica. L`analisi si basa su gran parte della matematica che hai imparato in precedenza. Essere esperti in tutti gli argomenti rende molto più facile l`apprendimento e la comprensione dell`analisi. Alcuni argomenti su cui rinfrescare le tue conoscenze sono:

Algebra. È necessario comprendere i diversi processi ed essere in grado di risolvere equazioni e sistemi di equazioni con più variabili. Comprendere le basi delle collezioni. Esercitati a fare grafici.

Geometria. La geometria è lo studio delle forme. Dovresti avere le conoscenze di base di triangoli, rettangoli e cerchi e come calcolare cose come perimetro e area. Comprendere angoli, linee e coordinate

trigonometria. La trigonometria è la branca della matematica che si occupa delle proprietà dei cerchi e dei triangoli rettangoli. Saper utilizzare identità trigonometriche, grafici, funzioni e funzioni trigonometriche inverse.

Immagine titolata Understand Calculus Step 6

6. Procurati una calcolatrice grafica. L`analisi non è facile da capire senza vedere cosa stai facendo. Le calcolatrici grafiche rendono le funzioni visive in modo da poter capire meglio con quali equazioni hai a che fare. Spesso i limiti vengono visualizzati anche sullo schermo e le derivate e le funzioni vengono calcolate automaticamente.

Molti smartphone e tablet oggi offrono app grafiche economiche ma efficaci se non vuoi o non puoi acquistare una calcolatrice grafica.

Parte 2 di 3: Comprendere i derivati

Immagine titolata Understand Calculus Step 7

1. L`analisi viene utilizzata per studiare il "cambiamento in un momento specifico". Sapere perché qualcosa cambia in un preciso momento è il fulcro dell`analisi. Ad esempio, l`analisi fornisce non solo la velocità di un`auto, ma anche quanto cambia quella velocità in un dato momento. Questo è uno degli usi più semplici dell`analisi, ma molto importante. Immagina quanto siano importanti tali informazioni nel determinare la velocità necessaria per portare un`astronave sulla luna!

Determinare il cambiamento in un dato momento ha differenziare. La differenziazione è il primo dei due rami principali dell`analisi.

Immagine titolata Understand Calculus Step 8

2. Usa i derivati per capire come cambiano le cose in un dato momento. Un "derivato" è una parola di fantasia per qualcosa che spesso rende nervosi gli studenti. Tuttavia, il concetto in sé non è così difficile da capire: significa solo "quanto velocemente qualcosa cambia". I derivati che incontrerai di più nella vita quotidiana hanno a che fare con la velocità. Tuttavia, di solito non la chiami "la derivata della velocità", ma semplicemente "accelerazione".

L`accelerazione è una derivata: ti dice quanto velocemente qualcosa sta accelerando o decelerando, ovvero come cambia la sua velocità.

Immagine titolata Understand Calculus Step 9

3. Sappi che il tasso di variazione è uguale alla pendenza tra due punti. Questa è una delle scoperte più importanti dell`analisi. La velocità di variazione tra due punti è uguale alla pendenza della linea tra quei due punti. Basti pensare a una linea semplice, come quella dell`equazione

y = 3 X .

$y=3x$ La pendenza della linea è 3, il che significa che per ogni nuovo valore di

X,

$X,$

y

$y$ cambia di 3. La pendenza è la stessa della velocità di variazione: una pendenza di tre significa che la linea cambia di 3 (diventa tre volte più grande) per ogni variazione di

X .

$X$ quando

X = 2, y = 6;

$x=2,y=6;$ quando

X = 3, y = 9.

$x=3,y=9$

La pendenza della linea è la variazione in y divisa per la variazione in x`.`

Maggiore è la pendenza della pendenza, più ripida è la linea. Quindi cambiare le linee ripide significa un rapido cambiamento.

Aggiorna le tue conoscenze sulla determinazione della pendenza di una linea se è leggermente affondata.

Immagine titolata Understand Calculus Step 10

4. Sappi che puoi determinare la pendenza delle linee curve. Determinare la pendenza di una retta è relativamente semplice: quanto cambia

y

$y$ per qualsiasi valore di

X ?

$X?$ Ma equazioni complesse come

y = X 2

$y=x^{{2}}$ per una curva, sono molto più difficili da determinare. Tuttavia, puoi ancora determinare la velocità di variazione tra due punti: basta tracciare una linea tra i due punti e calcolare la pendenza.

Ad esempio, nel

y = X 2,

$y=x^{{2}},$ puoi scegliere due punti qualsiasi e calcolare la pendenza. prendere

(1, 1)

$(1,1)$ e

(2, 4) .

$(2.4)$ La pendenza tra questi punti è quindi uguale a

4 - 1 2 - 1 = \frac{4}{2} = 2.

${frac{4-1}{2-1}}={frac{4}{2}}=2$ Ciò significa che il cambiamento tra

X = 1

$x=1$ e

X = 2

$x=2$ è uguale a 2.

Immagine titolata Understand Calculus Step 11

5. Se vuoi calcolare la modifica in modo più accurato, assicurati che i punti siano più vicini tra loro. Più vicino scegli i due punti, più precisa sarà la tua risposta. Supponiamo di voler sapere quanto accelera la tua auto quando premi il pedale dell`acceleratore. Non vuoi misurare il cambio di velocità tra casa tua e il supermercato, ma il cambio di velocità dal momento in cui premi l`acceleratore. Più la lettura si avvicina a quella frazione di secondo, più accurato sarà il calcolo della variazione.

Ad esempio, gli scienziati stanno studiando la velocità con cui alcune specie si stanno estinguendo per salvarle. Tuttavia, più animali muoiono in inverno che in estate, quindi non è utile studiare il tasso di cambiamento durante l`intero anno: è meglio determinare il tasso di cambiamento in un periodo più breve, ad esempio dal 1 luglio al 1 agosto.

Immagine titolata Understand Calculus Step 12

6. Utilizzare linee infinitamente brevi per determinare il "tasso di cambiamento istantaneo" o trovare la derivata. È qui che l`analisi diventa spesso un po` confusa, ma questo è in realtà il risultato di due semplici fatti. Prima di tutto, sai che la pendenza di una linea è uguale alla velocità con cui cambia quella linea. In secondo luogo, sai che più i punti della linea sono vicini tra loro, più accurata diventerà la lettura. Ma come si trova il tasso di variazione in un dato punto se la pendenza è la relazione tra due punti? La risposta: Scegli due punti che sono infinitamente vicini l`uno all`altro.

Pensa all`esempio in cui continui a dividere 1 per 2 e con quello 1/2, 1/4, 1/8, ecc. prende. Quindi alla fine ti avvicini allo zero e la risposta è "quasi zero". I punti sono così vicini tra loro da essere "quasi uguali". Questa è la natura dei derivati.

Immagine titolata Understand Calculus Step 13

7. Impara come determinare vari derivati. Esistono molte tecniche diverse per trovare una derivata a seconda dell`equazione, ma la maggior parte di esse ha senso una volta ricordate le basi delle derivate sopra. Tutte le derivate sono un modo per trovare la pendenza di una linea "infinitamente piccola". Ora che ne sai di più sulla teoria delle derivate, gran parte del lavoro consiste nel trovare le risposte.

Immagine titolata Understand Calculus Step 14

8. Determinare le equazioni derivate per prevedere il tasso di variazione in qualsiasi momento. È utile determinare il tasso di cambiamento in un dato momento usando le derivate, ma il bello dell`analisi è che puoi creare un nuovo modello per qualsiasi funzione. La derivata di

y = X 2,

$y=x^{{2}},$ per esempio, è

y sesso = 2 X .

$y^{{prime }}=2x$ Ciò significa che puoi trovare la derivata per qualsiasi punto su un grafico

y = X 2

$y=x^{{2}}$ sostituendo nella derivata. Sul punto

(2, 4),

$(2.4),$ per cui

X = 2,

$x=2,$ è la derivata 4, perché

y sesso = 2 (2) .

$y^{{prime }}=2(2)$

Ci sono diverse notazioni per i derivati. Nel passaggio precedente, le derivate erano indicate con un accento circonflesso --- la derivata di

y,

$si,$ quindi scrivilo come

y sesso .

$y^{{prime }}$ Questa è chiamata notazione di Lagrange.

C`è un altro modo che viene spesso utilizzato per scrivere derivati. Invece che con una cura, nota

D D X .

${frac{{mathrm{d}}}{{mathrm{d}}x}}$ Ricorda che la funzione

y = X 2

$y=x^{{2}}$ dipende dalla variabile

X .

$X$ Quindi scriviamo la derivata come

D y D X

${frac{{mathrm{d}}y}{{mathrm{d}}x}}$ --- il derivato di

y

$y$ Fino a

X .

$X$ Questa è chiamata notazione di Leibniz.

Immagine titolata Understand Calculus Step 15

9. Cerca di ricordare esempi pratici di derivati, se lo trovi difficile da capire. L`esempio più semplice è basato sulla velocità, che comprende molti derivati diversi che incontriamo ogni giorno. Non dimenticare: un derivato è una misura di quanto velocemente qualcosa cambia. Pensa a un semplice esperimento. Fai rotolare una biglia su un tavolo e misuri quanto si muove ogni volta e quanto velocemente. Ora immagina che la biglia rotolante segua una linea su un grafico: usi le derivate per misurare i cambiamenti istantanei in qualsiasi momento su quella linea.

Quanto velocemente si muove la biglia?? A che velocità cambia la posizione (o derivata) della biglia in movimento?? Chiamiamo questa derivata `velocità`.

Fai rotolare la biglia lungo una rampa e guarda come cambia la velocità. Qual è il tasso di variazione, o derivato, della velocità del marmo?? Questa derivata è ciò che chiamiamo `accelerazione`.

Fai rotolare la biglia lungo una pista ondulata, come sulle montagne russe. Quanto guadagna velocità la biglia quando rotola verso il basso e quanto rallenta la biglia in salita?? Quanto velocemente va la biglia esattamente quando è a metà della prima collina? Questo è quindi il tasso di cambiamento istantaneo, o il derivato, di quel marmo in quel punto specifico.

Parte 3 di 3: Comprendere gli integrali

Immagine titolata Understand Calculus Step 16

1. Sappi che puoi utilizzare l`analisi per trovare aree e volumi complessi. L`analisi consente di misurare forme complesse altrimenti difficili da misurare. Si consideri, ad esempio, la questione di voler sapere quanta acqua c`è in un lago lungo e di forma irregolare: è impossibile misurare ogni litro d`acqua individualmente o usare un righello per misurare la forma del lago. Con l`analisi, puoi studiare come cambiano i bordi del lago, quindi utilizzare tali informazioni per capire quanta acqua contiene.

La realizzazione di modelli geometrici e lo studio dei volumi ha integrare. Il calcolo integrale è il secondo ramo importante dell`analisi.

Immagine titolata Understand Calculus Step 17

2. Sappi che l`integrazione è l`area sotto un grafico. L`integrazione viene utilizzata per misurare lo spazio sotto una linea, che consente di determinare l`area di forme strane o irregolari. Prendi l`equazione

y = 4 - X 2,

$y=4-x^{{2}},$ Sembra una "U" invertita. Puoi calcolare quanto spazio c`è sotto la U, usando il calcolo integrale. Potresti chiederti qual è il punto, ma pensa al suo utilizzo nei processi di produzione: puoi creare una funzione che assomigli a una parte nuova e utilizzare l`aritmetica integrale per trovare l`area di quella parte e per aiutarti a ordinare la giusta quantità di materiale.

Immagine titolata Understand Calculus Step 18

3. Sapere per selezionare un`area da integrare. Non puoi semplicemente integrare un`intera funzione. Ad esempio,

y = X

$y=x$ è una linea diagonale che va avanti all`infinito, e non puoi integrarla tutta, perché non si fermerebbe mai. Quando si integrano le funzioni, è necessario scegliere un`area, come tutti i punti in mezzo

X = 2

$x=2$ e

X = 5.

$x=5$

Immagine titolata Understand Calculus Step 19

4. Come si calcola l`area di un rettangolo?. Supponiamo di avere una linea piatta sopra un grafico, ad esempio

y = 4.

$y=4$ Per trovare l`area sottostante, trova l`area di un rettangolo in mezzo

y = 0

$y=0$ e

y = 4.

$y=4$ Questo è facile da misurare, ma non funzionerà con le linee ondulate perché non puoi convertirle facilmente in rettangoli.

Immagine titolata Understand Calculus Step 20

5. Sappi che nel calcolo integrale molti piccoli rettangoli vengono sommati per trovare l`area di un`area. Se ingrandisci enormemente una curva, sembra una linea retta. Lo vedi ogni giorno -- non puoi vedere la curvatura della Terra perché sei così vicino alla superficie terrestre. L`integrazione crea un numero infinito di piccoli rettangoli sotto una curva che sono così piccoli da essere sostanzialmente piatti, permettendoti di contarli. Tutti questi rettangoli sommati formano l`area dell`area sotto una curva.

Supponiamo di sommare molti piccoli segmenti sotto il grafico e che la larghezza di ciascun segmento quasi zero è.

Immagine titolata Understand Calculus Step 21

6. Saper leggere e scrivere correttamente gli integrali. Gli integrali sono costituiti da 4 parti. Un tipico integrale si presenta così:

\int F (X) D X

$int f(x){mathrm{d}}x$

Il primo simbolo,

\int,

$int ,$ è il simbolo per l`integrazione (questa è in realtà una S allungata).

La seconda parte,

F (X),

$f(x),$ è la funzione. Se è all`interno dell`integrale, si chiama de integrante.

E infine il

D X

${mathrm{d}}x$ alla fine, che ti dice quale variabile stai integrando e a cosa. Perché la funzione

F (X)

$f(x)$ a seconda di

X,

$X,$ è ciò verso cui ti integri.

Ricorda che la variabile che integri potrebbe non esserlo sempre

X,

$X,$ sarà, quindi fai attenzione a ciò che scrivi.

Immagine titolata Understand Calculus Step 22

7. Ulteriori informazioni sulla ricerca degli integrali. Il calcolo integrale si presenta in molte forme e devi imparare molte formule diverse per integrare ogni funzione. Tuttavia, tutti seguono i principi sopra delineati: l`integrazione è la somma di un numero infinito di cose.

Integrare per sostituzione.

Calcolo degli integrali indefiniti.

Integrare condividendo.

Immagine titolata Understand Calculus Step 23

8. Sappi che l`integrazione è l`inverso della differenziazione e viceversa. Questa è una regola pratica di analisi così importante che le è stato dato un nome: Teorema Fondamentale del Conto Integrale. Poiché l`integrazione e la differenziazione sono così strettamente correlate, una combinazione delle due può essere utilizzata per misurare la velocità di cambiamento, accelerazione, velocità, posizione, movimento, ecc. per determinare, indipendentemente dalle informazioni che hai.

Ad esempio, ricorda che la derivata della velocità è l`accelerazione, quindi puoi usare la velocità per trovare l`accelerazione. Ma se conosci solo l`accelerazione di qualcosa (come oggetti che cadono a causa della gravità), puoi integrare per ritrovare la velocità!

Immagine titolata Understand Calculus Step 24

9. Sappi che l`integrazione ti consente anche di controllare il volume degli oggetti 3D. La rotazione di una forma piatta è un modo per creare solidi 3D. Immagina solo una moneta sul tavolo che gira: nota come la moneta sembra assumere la forma di una sfera mentre gira. Questo concetto consente di determinare il volume mediante un processo noto come "volume per rotazione".

Ciò consente di determinare il volume di qualsiasi solido, purché si disponga di una funzione che lo rappresenti. Ad esempio, puoi creare una funzione che segua il fondo di un lago e quindi utilizzarla per determinare il volume del lago o quanta acqua contiene.

Consigli

La pratica rende perfetti, quindi svolgi gli esercizi pratici nel tuo libro di testo, anche quelli che il tuo insegnante non ha specificato, e controlla le tue risposte in modo da comprendere meglio i concetti.
Se non riesci a capire qualcosa, chiedi al tuo insegnante.

Articoli sull'argomento "Capire l'analisi"

Scrivere un'analisi del carattere

Analisi di una citazione

Scrivere un'analisi letteraria

Analisi linguistica

Condividi sui social network: