Calcola il fattoriale

Contenuto

Il fattoriale è comunemente usato per calcolare la probabilità e le permutazioni, o la possibile sequenza di eventi. Il fattoriale è indicato da un punto esclamativo (!{ displaystyle !}{ displaystyle!}), il che significa che moltiplichi tutti i numeri in ordine decrescente dal numero fattoriale. Una volta capito cos`è un fattoriale, è facile calcolarlo, soprattutto con l`aiuto di una calcolatrice scientifica.

Passi

Metodo 1 di 3: calcolo del fattoriale di un numero

Immagine titolata Do Factorials Step 1
1. Determina il numero per il quale calcoli il fattoriale. Un fattoriale è indicato da un numero intero positivo e un punto esclamativo.
  • Supponiamo di voler calcolare il fattoriale di cinque, lo scrivi come 5!{ displaystyle 5!}{ displaystyle 5!}.
Immagine titolata Do Factorials Step 2
2. Annota la sequenza di numeri che moltiplichi. Un fattoriale sta semplicemente moltiplicando i numeri naturali in ordine decrescente dal numero del fattoriale, fino a 1. Come formula: n!=n(n-1)⋅⋅⋅2⋅1{ displaystyle n!=n(n-1)cpunto cpunto cpunto 2cpunto 1}{ displaystyle n! = n (n-1) cdot cdot cdot 2 cdot 1}, per cui n{ displaystyle n}n è uguale a un numero intero positivo.
  • Ad esempio, se tu 5!{ displaystyle 5!}{ displaystyle 5!} Se vuoi calcolare, lo fai prima 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4){displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}{displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} o, più semplicemente: 5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}.
    • Immagine titolata Do Factorials Step 3
    3. Moltiplica i numeri insieme. Puoi calcolare rapidamente il fattoriale con una calcolatrice scientifica, perché ha a X!{ displaystyle x!}{ displaystyle x!} pomello. Se vuoi calcolarlo a mano, puoi semplificarlo cercando prima le coppie di fattori che moltiplicate insieme sono uguali a 10. Ovviamente puoi ignorare l`1, perché un numero per 1 è uguale al numero stesso.
  • Ad esempio: se tu 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1{ displaystyle 5!=5cpunto 4cpunto 3cpunto 2cpunto 1}{displaystyle 5!=5cpunto 4cpunto 3cpunto 2cpunto 1} calcola, quindi ignora 1 e calcola 5⋅2=10{displaystyle 5cdot 2=10}{displaystyle 5cdot 2=10}. Tutto ciò che resta ora è 4⋅3=12{displaystyle 4cdot 3=12}{displaystyle 4cdot 3=12}. Perché 10⋅12=120{displaystyle 10cpunto 12=120}{displaystyle 10cpunto 12=120}, sai 5!=120{ displaystyle 5!=120}{displaystyle 5!=120}.

    • Metodo 2 di 3: Semplificazione di un fattoriale

    Immagine titolata Do Factorials Step 4
    1. Determina quale espressione semplificare. Spesso questa è una frazione.
    • Supponiamo, per esempio, che tu 7!5!⋅4!{ displaystyle { frac {7!}{5!cpunto 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} dovrebbe semplificare.
    Immagine titolata Do Factorials Step 5
    2. Scrivi i fattori di ogni fattoriale. Perché la facoltà n!{ displaystyle n!}{ displaystyle n!} è un fattore di un fattoriale più ampio, per semplificarlo devi guardare i fattori che puoi cancellare. Questo è facile se scrivi ogni termine.
  • Ad esempio: se tu 7!5!⋅4!{ displaystyle { frac {7!}{5!cpunto 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} Se vuoi semplificare, riscrivi questo come 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4){ displaystyle { frac {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7} {(1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5) cdot (1 cdot 2 cpunto 3cpunto 4)}}}{ displaystyle { frac {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7} {(1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5) cdot (1 cdot 2 cpunto 3cpunto 4)}}}
    • Immagine titolata Do Factorials Step 6
    3. Elimina tutti i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore. Questo semplificherà i numeri rimasti da moltiplicare.
  • Ad esempio: perché 5!{ displaystyle 5!}{ displaystyle 5!} è un fattore di 7!{ displaystyle 7!}{ displaystyle 7!}, può 5!{ displaystyle 5!}{ displaystyle 5!} elimina dal numeratore e dal denominatore:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4)=6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){ displaystyle { frac {{ annulla {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5}} cdot 6 cdot 7} {({ annulla {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}{ displaystyle { frac {{ annulla {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5}} cdot 6 cdot 7} {({ annulla {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5}})cdot (1cdot 2cdot 3cdot 4)}}={frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
    • Immagine titolata Do Factorials Step 7
    4. Completa i calcoli. Semplifica dove possibile. Questo ti darà l`espressione finale semplificata.
  • Ad esempio:
    6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}{displaystyle {frac {6cdot 7}{(1cdot 2cdot 3cdot 4)}}}
    =4224{displaystyle ={frac {42}{24}}}{displaystyle ={frac {42}{24}}}
    =74{displaystyle ={frac {7}{4}}}{displaystyle ={frac {7}{4}}}
    Così, 7!5!⋅4!{ displaystyle { frac {7!}{5!cpunto 4!}}}{displaystyle {frac {7!}{5!cdot 4!}}} è semplificato 74{displaystyle {frac {7}{4}}}{displaystyle {frac {7}{4}}}.

    • Metodo 3 di 3: Fare semplici esercizi

    Immagine titolata Do Factorials Step 8
    1. Osserva l`espressione 8!.
    • Se hai una calcolatrice scientifica, premi il tasto 8{ displaystyle 8}{ displaystyle 8}, seguito dalla chiave X!{ displaystyle x!}{ displaystyle x!}.
    • Se calcolato a mano, annotare i fattori da moltiplicare insieme:
      8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}
    • Ignora il 1:
      8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}{displaystyle 8cdot 7cdot 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}
    • calcolare 5⋅2{displaystyle 5cdot 2}{displaystyle 5cdot 2}:
      (5⋅2)8⋅7⋅6⋅4⋅3{displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}{displaystyle (5cdot 2)8cdot 7cdot 6cdot 4cdot 3}
      =(10)8⋅7⋅6⋅4⋅3{displaystyle =(10)8cpunto 7cpunto 6cpunto 4cpunto 3}{displaystyle =(10)8cpunto 7cpunto 6cpunto 4cpunto 3}
    • Raggruppa prima tutti gli altri numeri che possono essere facilmente moltiplicati, quindi moltiplica tutti i prodotti insieme:
      (10)(4⋅3)(7⋅6)(8){ displaystyle (10) (4 cpunto 3) (7 c punto 6) (8)}{ displaystyle (10) (4 cpunto 3) (7 c punto 6) (8)}
      =(10)(12)(42)(8){ displaystyle =(10)(12)(42)(8)}{ displaystyle =(10)(12)(42)(8)}
      =(120)(336){displaystyle =(120)(336)}{displaystyle =(120)(336)}
      =40320{displaystyle =40320}{displaystyle =40320}
      così, 8!=40,320{ displaystyle 8!=40.320}{displaystyle 8!=40.320}.
    Immagine titolata Do Factorials Step 9
    2. Semplifica l`espressione:12!6!3!{ displaystyle { frac {12!}{6!3!}}}{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}}.
  • Scrivi i fattori di ogni fattoriale:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3){ displaystyle { frac {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7 cdot 8 cdot 9 cdot 10 cdot 11 cdot 12} {(1 cdot 2 cdot 3cpunto 4cpunto 5cpunto 6)(1cpunto 2cpunto 3)}}}{ displaystyle { frac {1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 cdot 7 cdot 8 cdot 9 cdot 10 cdot 11 cdot 12} {(1 cdot 2 cdot 3cpunto 4cpunto 5cpunto 6)(1cpunto 2cpunto 3)}}}
  • Elimina i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore:
    1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3)=7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot}}}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cpunto 11cpunto 12}{1cpunto 2cpunto 3}}}{displaystyle {frac {{cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6cdot}}}7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{( {cancel {1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6}})(1cdot 2cdot 3)}}={frac {7cdot 8cdot 9cdot 10 cpunto 11cpunto 12}{1cpunto 2cpunto 3}}}
  • Completa i calcoli:
    7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}{displaystyle {frac {7cdot 8cdot 9cdot 10cdot 11cdot 12}{1cdot 2cdot 3}}}
    =665,2806{displaystyle ={frac {665,280}{6}}}{displaystyle ={frac {665,280}{6}}}
    =110,880{ displaystyle = 110.880}{ displaystyle = 110.880}
    Quindi l`espressione 12!6!3!{ displaystyle { frac {12!}{6!3!}}}{displaystyle {frac {12!}{6!3!}}} è semplificato a 110,880{ displaystyle 110.880}{ displaystyle 110.880}.
    • Immagine titolata Do Factorials Step 10
    3. Prova la seguente attività. Hai sei dipinti che vorresti appendere uno accanto all`altro sul muro. In quanti modi puoi appendere i dipinti?
  • Dato che stai cercando il numero di modi diversi per ordinare una sequenza, puoi risolverlo trovando il fattoriale del numero di oggetti nella sequenza.
  • Il numero di modi possibili per appendere i sei dipinti di fila può essere risolto 6!{ displaystyle 6!}{ displaystyle 6!} calcolare.
  • Su una calcolatrice scientifica, premere il tasto 6{ displaystyle 6}6, seguito dalla chiave X!{ displaystyle x!}{ displaystyle x!}.
  • Se lo stai risolvendo a mano, annota i fattori da moltiplicare:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}
  • Ignora il 1:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}{displaystyle 6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2{cancel {cdot 1}}}
  • calcolare 5⋅2{displaystyle 5cdot 2}{displaystyle 5cdot 2}:
    (5⋅2)6⋅4⋅3{ displaystyle (5 cpunto 2) 6 c punto 4 c punto 3}{ displaystyle (5 cpunto 2) 6 c punto 4 c punto 3}
    =(10)6⋅4⋅3{displaystyle =(10)6cpunto 4cpunto 3}{displaystyle =(10)6cpunto 4cpunto 3}
  • Innanzitutto, raggruppa gli altri numeri facili da moltiplicare, quindi moltiplica tutti i prodotti insieme:
    (10)(4⋅3)(6){ displaystyle (10) (4 cpunto 3) (6)}{ displaystyle (10) (4 cpunto 3) (6)}
    =(10)(12)(6){ displaystyle =(10)(12)(6)}{ displaystyle =(10)(12)(6)}
    =(120)(6){displaystyle =(120)(6)}{displaystyle =(120)(6)}
    =720{ displaystyle = 720}{ displaystyle = 720}
    Quindi, se appendi sei dipinti di fila uno accanto all`altro, puoi farlo in 720 modi diversi.
    • Immagine titolata Do Factorials Step 11
    4. Prova la seguente attività. Hai sei dipinti. Vuoi appenderne tre. In quanti modi diversi puoi organizzare tre dei dipinti?
  • Dato che hai sei dipinti diversi, ma ne scegli solo tre, devi solo moltiplicare i primi tre numeri nella sequenza per calcolare il fattoriale di sei. Puoi anche usare la formula n!(n-R)!{ displaystyle { frac {n!}{(n-r)!}}}{displaystyle {frac {n!}{(n-r)!}}} usare, dove n{ displaystyle n}n è uguale al numero di oggetti tra cui scegli, e R{ displaystyle r}R è uguale al numero di oggetti che usi. Questa formula funziona solo se non ci sono iterazioni (un oggetto non può essere scelto più di una volta) e l`ordine non ha importanza (perché vuoi controllare il numero di modi diversi in cui le cose possono essere ordinate).
  • Puoi trovare il numero di modi possibili per organizzare e appendere tre dei sei dipinti di seguito 6!(6-3)!{ displaystyle { frac {6!}{(6-3)!}}}{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}} risolvere.
  • Sottrarre i numeri al denominatore:
    6!(6-3)!{ displaystyle { frac {6!}{(6-3)!}}}{displaystyle {frac {6!}{(6-3)!}}}
    =6!3!{ displaystyle = { frac {6!}{3!}}}{displaystyle ={frac {6!}{3!}}}
  • Scrivi i fattori di ogni fattoriale:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1}{3cdot 2cdot 1}}}
  • Elimina i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore:
    6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}{displaystyle {frac {6cdot 5cdot 4cdot {cancel {3cdot 2cdot 1}}}}{cancel {3cdot 2cdot 1}}}}
  • Completa i calcoli: 6⋅5⋅4=120{displaystyle 6cpunto 5cpunto 4=120}{displaystyle 6cpunto 5cpunto 4=120}
    Quindi tre dei sei dipinti totali possono essere appesi in fila in 120 modi diversi.

    • Consigli

    • 1! =1, secondo la definizione
    • Sebbene sembri in qualche modo illogico, puoi presumere che 0! = 1, salvo diversa indicazione
    • La facoltà è usata per risolvere problemi combinatori, quindi esercitati con questa abilità
    • Non dimenticare di controllare il tuo lavoro

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