Impara a Dividere i Quadrati: 8 Passaggi

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Passi
Consigli

Una delle abilità più importanti per gli studenti di matematica è la formula abc, o $X = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 un C 2 un .$ $x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$ Usando la formula abc, risolvendo un`equazione quadratica della forma $un X 2 + B X + C = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$ una semplice questione di sostituzione dei coefficienti $un, B, C$ $ABC$ nella formula. Anche se la semplice conoscenza della formula è spesso sufficiente per molti, lo è capire come è derivato (in altre parole, da dove viene) qualcosa di completamente diverso. La formula è derivata tramite `squadrare` che ha anche altre applicazioni all`interno della matematica, quindi è saggio che tu ne abbia familiarità.

Passi

1. Inizia con la forma standard di un`equazione quadratica generale. Anche se qualsiasi confronto con un termine piace

X 2

$x^{{2}}$ in, è quadratico, la forma standard imposta tutto a zero. Ricordati che

un, B, C

$ABC$ sono coefficienti che possono essere qualsiasi numero intero, quindi ora non puoi inserire numeri per le variabili - vogliamo lavorare con il modulo generale.

$un X 2 + B X + C = 0$ $ax^{{2}}+bx+c=0$
L`unica condizione è quella $un \neq 0$ $aneq 0$ , altrimenti l`equazione è semplificata in un`equazione lineare. Vedi se riesci a trovare soluzioni generali per casi speciali in cui $B = 0$ $b=0$ e $C = 0$ $c=0$ .

2. tiro C{ displaystyle c} $C$ fuori da entrambi i lati. Il nostro obiettivo è isolare

X

$X$ . Iniziamo spostando uno dei coefficienti sull`altro lato in modo che il lato sinistro sia composto solo da termini con

X

$X$ .

un X 2 + B X = - C

$ax^{{2}}+bx=-c$

3. Dividi entrambi i lati un{ displaystyle a} $un$ . Nota che avremmo potuto scambiarli nel passaggio precedente e ottenere comunque la stessa risposta. Ricorda che dividere un polinomio per qualcosa implica dividere ciascuno dei suoi singoli termini. Questo rende più facile dividere il quadrato.

X 2 + \frac{B}{un} X = - C un

$x^{{2}}+{frac{b}{a}}x={frac{-c}{a}}$

4.Dividi il quadrato. Ricorda che l`obiettivo è creare un`espressione

X 2 + 2 ◻ X + ◻^{2}

$x^{{2}}+2Casella x+Casella ^{{2}}$ riscrivere come

(X + ◻) 2,

$(x+Box )^{{2}},$ per cui

◻

$Scatola$ è un coefficiente. Questo potrebbe non essere immediatamente chiaro per te. Per renderlo più chiaro, riscrivi

\frac{B}{un} X

${frac{b}{a}}x$ Se

2 B 2 un X

$2{frac{b}{2a}}x$ moltiplicando il termine per

\frac{2}{2} .

${frac{2}{2}}$ Possiamo farlo perché moltiplicando per 1 non cambia nulla. Ora possiamo vederlo chiaramente nel nostro caso

◻ = B 2 un,

$Box ={frac{b}{2a}},$ , quindi manca solo il termine

◻ 2

$Casella ^{{2}}$ . Pertanto, per dividere il quadrato, lo aggiungiamo su entrambi i lati, vale a dire,

(B 2 un) 2 = B 2 4 un 2 .

$left({frac{b}{2a}}right)^{{2}}={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}$ E poi ovviamente possiamo fattorizzare.

\begin{matrix} X \end{matrix} 2 + 2 B 2 un X + B 2 4 un 2 = B 2 4 un 2 - \frac{C}{un} (^{X + B 2 un) 2} & = B 2 4 un 2 - \frac{C}{un}

${begin{aligned}x^{{2}}+2{frac{b}{2a}}x+{frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}& ={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}\left(x+{frac{b}{2a}} right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2}}}}-{frac{c}{a}}end{aligned} }$

È chiaro qui perché

un \neq 0

$aneq 0$ , perché

un

$un$ è al denominatore e non puoi dividere per zero.

Se necessario, puoi estendere il lato sinistro per assicurarti che la squadratura funzioni.

5. Scrivi il lato destro sotto un denominatore comune. Vogliamo che entrambi i denominatori siano

4 un 2

$4a^{{2}}$ sono, quindi moltiplica il termine

- C un

${frac{-c}{a}}$ di

4 un 4 un

${frac{4a}{4a}}$ .

\begin{matrix}  \end{matrix} (X + B 2 un) 2 = B 2 4 un 2 - 4 un C 4 un 2 = B 2 - 4 un C 4 un 2

${begin{allineato}left(x+{frac{b}{2a}}right)^{{2}}&={frac{b^{{2}}}{4a^{{2 }}}}-{frac{4ac}{4a^{{2}}}}\&={frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}} end{allineato}}$

6. Calcola la radice quadrata di entrambi i lati. Tuttavia, è essenziale che tu comprenda che in questo modo stai essenzialmente facendo due passi. Quando prendi la radice quadrata di

D 2

$d^{{2}}$ , allora ottieni

D

$D$ non. Fondamentalmente ne ottieni il valore assoluto,

| D |

$|d|$ . Questo valore assoluto è essenziale per ottenere entrambe le radici - posizionando semplicemente le radici quadrate sopra entrambi i lati si otterrà solo una delle radici.

| X + B 2 un | = \sqrt{} B 2 - 4 un C 4 un 2

$left|x+{frac{b}{2a}}right|={sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Ora possiamo sbarazzarci dei segni di valore assoluto, per

\pm

$pm$ da posizionare a destra. Possiamo farlo perché il valore assoluto non distingue tra numeri positivi e negativi, quindi sono entrambi validi. Questo dettaglio è il motivo per cui l`equazione quadratica consente di ottenere due radici come risultato.

X + B 2 un = \pm \sqrt{} B 2 - 4 un C 4 un 2

$x+{frac{b}{2a}}=pm {sqrt{{frac{b^{{2}}-4ac}{4a^{{2}}}}}}}$

Semplifichiamo un po` di più questa espressione. Poiché la radice quadrata di un quoziente è il quoziente delle radici quadrate, possiamo scrivere il lato destro come

\pm \sqrt{B} 2 - 4 un C \sqrt{4 {un}^{2}} .

${frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}}{{sqrt{4a^{{2}}}}}}$ Quindi possiamo prendere la radice quadrata del denominatore.

X + B 2 un = \pm \sqrt{B} 2 - 4 un C 2 un

$x+{frac{b}{2a}}={frac{pm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

7. isolato X{ displaystyle x} $X$ sottraendo

B2un{displaystyle {frac {b}{2a}}} ${frac{b}{2a}}$ su entrambi i lati.

X = - B 2 un \pm \sqrt{B} 2 - 4 un C 2 un

$x={frac{-b}{2a}}pm {frac{{sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

8. Scrivi il lato destro sotto un denominatore comune. Non è come la formula abc, la formula per risolvere un`equazione quadratica in forma standard. Questo funziona per qualsiasi

un, B, C

$ABC$ e dà

X

$X$ di conseguenza, che può essere un numero reale o complesso. Per verificare che questo processo funzioni, segui semplicemente i passaggi in questo articolo in ordine inverso per ripristinare il modulo predefinito.

X = - B \pm \sqrt{B} 2 - 4 un C 2 un

$x={frac{-bpm {sqrt{b^{{2}}-4ac}}}{2a}}$

Consigli

È interessante notare che la formula abc si applica anche a coefficienti complessi, anche se devi semplificare un po` di più per ottenere la risposta finale e le radici non sono coppie coniugate. I problemi con le espressioni quadratiche sono, tuttavia, quasi sempre dati con coefficienti reali.